こんにちは。
やはり、よいサイトは、どれもハンガリー語なので、グーグルなどに、入力検索するしかないと、おもいます。英語で検索すると、ときどき、かんこうや、ＩＴ関係の、求人がありますよ。アパートなんかも、英語で検索するといいと思います。

質問者様のハンガリー語のレベルがどの程度のなのかわからないので判断しかねますが、
紛失したことにして更新すればよいのではないのでしょうか？

５区、六区をおすすめします。
７区も、いいですが、場所によっては、ジプシーがおおいとこもあるので、おすすめしません。deak広場というのが、メトロ線が集合しているところで、その近辺は、安全ですよ。私は、以前、オペラ座の裏に住んでいましたが、アンドラージ通り沿いは、音大留学生もおおく、いいところです。観光名所に近いほど、治安がいいと考えて下さい。国会議事堂付近も大使館など多く、過ごしやすい場所です。メトロ戦でも赤いメトロ線Blaha Lujza広場辺りは治安はよくありません（７区・８区）赤いメトロ線上はAstoriaまでがいい場所ですね（ここにプだペスト大学があります）。青いメトロ洗浄だとDeak広場から１・２駅までは治安がいいところです。
ドナウ川沿いのFerenciek Tere付近もおすすめです。８区になりますが、Kalvin Terや川沿いに近くなる中央市場付近もいいと思います。Kalvin Terの近くにはミシュランレストランなどもあるおしゃれなレストラン街が集中していますし、一番のおしゃれ通り、Vaci 通りの延長線上でもあります。
ちなみにペスト側からペスト側の端まで車で通勤ということで、中心部はどこも朝はとても渋滞するので、ペスト側内の移動であっても仕方ないかなと思います。基本的に欧州の街はどこも、道が狭いので（車社会になることを想定して街が設計されていないのと、建物が戦前のままのものが多く保護扱いになっているので道の拡張ができない）。
中心部で住宅をお探しすることをお勧めしますが、その場合は駐車場も借りたほうがいいと思います。というのも、日本とちがって駐車スペースは基本なく、路上駐車になるので（夕方６時から朝八時まで無料）開いてる駐車スペースがない、なんてことはざらにあります。
私が前述のとおり以前オペラ座の裏に住んでいた時は仕事から帰ってきて（地方勤務でした）、駐車できず、何十分もぐるぐる付近を運転してさまよい、離れたところでやっと駐車できた、なんてことがありました。また路上駐車のため、車体に傷がつく、サイドミラーが折れた、なんてざらです。会社にお願いして、駐車場は民間の賃貸駐車場を確保してもらったほうがいいと思います。
最後に静かな場所をご希望ということですが、そこはやはり値段が高く高級感がたかいところというしかないです。というのものリーズナブルな物件は学生が賃貸することがおおく、夜間、家で飲み会なんてザラなので‥。ご自分で探すのか不動産会社を仲介するのかは存じ上げませんが、不動産会社を仲介すると、その辺の事情も考慮してくださるかもしれません。
ingatlan.com というサイトが一般的に普及している住宅サイトです。
確かハンガリー語のみだったと思いますが、活用するといいと思います。

はじめまして。ハンガリーでは、エアコンは基本冷房のみなので、ガス暖房が、ほとんどです。アパートなんかだと、建物全体で、温水を、循環させてーみたいな、暖房が多く、そうだと、市の供給会社が、秋から、春先にかけて、一律で、暖房供給を始めるので、いくら使用しようが、料金は、一定で、それが、高いと言われる所以です。つまり、24時間、暖房がかかっているので、家の中はTシャツでオッケーと言った感じになります。
アパートによっては、調整でき、使用料で、計算されることもありますが、まれです。うちは、新築で、二階建てで、、使用分に応じた支払いで、一番高い月で、２万5千フォリントくらいです。古いアパートも、持ってますが、そこほ、45m2程度の小さい部屋ですが、ふゆばは、3万フォリント超えますね。一律料金なので。

はじめまして。
以前に一回、Pecsへ旅行した際（車で）立ち寄った記憶があります。
Pecsまで電車そのあとバスもしくはタクシーしかないとおもいます。
そもそもBudapestからPecsまで遠いので、日帰りだと厳しいかな思います。
質問者様は何か思い入れがあってHarkanyまで行きたいのでしょうか？
温泉であれば、ブタペスト市内の温泉をいろいろ回るのが一番良いと思います。
地方の温泉は大したことはないし、設備も古いし、観光客対応もできていないところが普通なので
個人的にはあまりお勧めしません（ホテル内施設は別として）。
電車も日本と違い遅れるのが当たり前なので、大変だと思います。