はじめまして。Ugyfelkapuはすでに滞在許可証があるもののみ（またはハンガリー国籍を有するもの）が使用できるシステムなので、質問者さんは登録できません。
就労ビザを獲得したいということであればまず移民局に行き何が必要かを確認するのが一番早いと思います。
Enter hungaryというサイトでまず登録し、アポを取って、面接して聞くのが一番早いと思います。
https://enterhungary.gov.hu/eh/?en

はじめまして。
私はバスが渋滞とかもろもろと分かりにくいので好きではないので、
私だったら、の提案になりますが2km先にNépligetという大きなバスターミナル・メトロ駅があります。そこまで徒歩で行き、Flibco (https://www.flibco.com/en)という空港行きのシャトルバスに乗ってしまうのが一番だと思います。
深夜・・ですよね？バスはそんなに遅くまで走ってないと思います。
Flibcoだと一人９ユーロで調べたところ、２３時２５分と２３時５５分発があります。３０分で空港までつきます。

はじめまして。
学生ビザは２０年前ほどの取得した経験があるのみですが昨年滞在ビザ（配偶者がハンガリー人）を申請いたしましたので、知っている範囲でお答えします。
まず、日本人なので３０日以内ということはないと思います。
９０日のショートステイが観光ビザとして発行されているはずなので確認してください。
どこの大学か存じ上げませんが、日本人が質問者さん以外にもいる・今までに受け入れしているのであれば、Tanulmányi Osztályという学生課が親身になってその辺のノウハウは教えてくれると思います。
必要になるものは
・学費支払い証明書（学校より発行）、要は学生であり入学許可が下りていることがわかるもの
・住宅契約　これは賃貸の場合、大家さんに提出書類にサインしてもらう必要があります　
・顔写真　証明写真
・申請書
このくらいだと思います。

流れとしては今はオンラインでまず申請をする、時間のアポを取る、オンラインで申請書をアップロードする、で問題なければとんとん拍子で勝手に進んでいきます。が、オンラインがよくわからずとりあえずアポを取って窓口で教えてもらう、ということもできます。でもその時もこの書類をオンラインでアップロードしてね、と指示ざれると思います。
https://enterhungary.gov.hu/eh/?en
このサイトでまずSine inします。-->アカウントがなければ作成してください（Registration）となります。で作成後サイトにアクセスできるようになるので英語ですが、そこで確認していけば大丈夫かなと思います。
９０日は大丈夫なはずなので、あまり心配せず、まずハンガリーに到着し、学生課に確認してからでも大丈夫だと思いますよ。
ただ毎年更新になりますので、一年目にしっかり覚えるとよいと思います。

頑張ってください！

案内はできませんが、情報までに。
ヘレンドは距離があるので、個人ではレンタカーかツアーに入らないといけないと思います。
ブダペスト観光の場合旅行者が行く郊外だと、

・Szentendre　お土産物店なのがたちならんだ、観光客が良くいく郊外のこじんまりとした町。
・Gödöllő　オーストリアハンガリー帝国時代のシシーが済んだお城があります。ここもツアー旅行者だと絶対に行く場所ですね。
・Esztergom　とても見ごたえのある大聖堂が丘にあります。ドナウ川をを一望でき、スロバキア国境とつなぐ橋が街にあり徒歩でもパスポート見せるだけでスロバキアに入国できます。 郊外にスズキ自動車工場何十年も前に進出してあるため、親日ですよ。

ホルトバージはブダペストから行こうとすると距離もあるうえ大変だと思います。
２０年以上ハンガリーに住んでますが実は私も行ったことありません。
平原・・というとモンゴルみたいな感じを想像されているかもしれませんがそれほど壮大ではありません。
ハンガリーは基本平地なので南のほうや地方に行けば、基本、北海道みたいな感じの風景だと思います。でちょっと田舎に行けば結構そこらに馬や牛が放牧してあったり、鹿が走ってたり、といった感じです。
馬のショーだけでも良いのなら田舎のホテルなんかに行くとハーフボードで結構迫力あるショーが入ってる宿泊プランなんかがあるので、そういうのも検討してみてはいかかでしょうか。
馬のショーがついてるレストランなんかもあります。
Ｋｅｃｋｅｍｅｔならブダペストから電車一本で小一時間でいけて馬ショー結構ありますよ。
余裕で日帰りできると思います。電車も一時間に一本くらいあるので。
Ｋｅｃｓｋｅｍｅｔだと日本企業（日清さん）もあるし、ヒルトンホテルなんかも安く泊まれるのでお勧めです。

質問者様、
①酸素スプレーについて
調べてみたところハンガリーでは医療用という扱いではないので薬局などでは販売していない模様です。検索してみたところ、登山専門サイトなどしか検索結果に上がった来ないので、
ハンガリーに来てからハンガリー語のサイトで購入し・・というのおそらくあまり、現実的ではないと思います。
さらに検索してみたところ、ブダペストで購入できそうなものを見つけました。
以下サイト参照願います。
https://doktoroxygen.hu/termek/folyekony-oxigen-szorofejes-50ml/

上記の商品は以下の場所で購入できるそうです。
店名＞BIO-FORRÁS biobolt
住所：Rákoskeresztúri Vásárcsarnok
1173 Budapest, Ferihegyi út 81-83
サイト: www.bioforras.hu
E-mail: bioforras2@gmail.com

店名＞MediLine Nagykereskedés és Diszkontáruház
住所＞1135 Budapest, Jász utca 25/B.

店名＞Bijó Nagykereskedés és Szakáruház
住所＞Budapest, Róbert Károly krt. 96, 1135

店名＞Vízbolt
住所＞Budapest, Gubacsi út 6/c, 1097
サイト＞www.vizbolt.hu

店名＞Anatur Biobolt
住所＞Budapest, Oktogon 4, 1067

②宿泊先ですが、ツアーのホテルはまさに中心部にあり、全メトロ線が通っている広場真横にあります。なのでこの付近でホテルを探されるのはいいと思います。
旧市街地のヒルトンは丘のてっぺんにあり、きれいですが、交通の便は良くないです。歩いて観光するにはタクシーかバスか、必要になると思います。
ブダペストで治安がいいのは国会議事堂付近、つまり５区あたりで８区や７区は控えたほうがいいでしょう。またペスト側ドナウ川沿いが一番観光しやすい立地です。

１８日は祝日、２１日もイースターで祝日なので基本的にスーパーや小売店はお休みです。
が、ブダペストであればレストランは開いているところは結構あると思います。
観光地については行きたいところが決まっているようであれば、３月後半くらいになればウェブサイトをチェックするなどすれば休みかどうかの記載があると思います。
中央市場のような場所は確実にお休みだと思います。
ドナウ川沿いを散策し、くさり橋を渡り王宮の丘に行くコースや英雄広場に行き公園を散策する（お城もある）などのような外から見る、ような観光スタイルでも存分に楽しめるかと思います。
イースターに合わせ広場や公園などでは催しをやっていたり、またイースターマーケットなどもあるので、食べたり観光したり困ることはないと思います。

漁夫の砦・王宮付近は散策できるので観光はできると思います。
ただ、ネガティブな意見になりますが、とにかく鉄道１時間遅れるなんてのが当たり前なハンガリーなので
滞在時間３時間だと遅れた場合観光も何もできなくなることだけは想定して
万が一ホテルに一泊宿泊してもよいくらいの気持ちで来られることをお勧めします。

南駅に到着ならば王宮地区に行くのはものすごく簡単ですが東駅だと地下鉄を乗り継ぐことになります。個人としては英雄広場付近を散策・アンドラーシ通りから聖イシュトバーン教会がおすすめです。

こんにちは！ブダペスト在住でもなく、生食もしていない者ですが、ハンガリーの食事事情として、生食はありません。ゆえに表示があるということも聞いたことがありません。スーパーで売っている卵の状態を見てもわかるように包装の箱は開けたい放題、中身変えたい放題なので、一般に売られている卵の品質の正当性はほぼない、と考えています。私は地方暮らしで、知り合いに養鶏している人がいて、卵を直接その方から買っていますが（いわゆる、Házi tojás)生食したことはありません。一般的に、生まれたて卵＋１日の間に生食がOKというような記事を読むので、
質問者様がどうしても、ということなら、市場はどこでもいいと思うので、Házi tojásを売っている方に直接ご自分が生食をしたい旨を伝えて、日時を取り決めるなどして、１０個新鮮な、その日に生まれたものをください、いつならいいですか？みたいなふうに交渉するのが一番だと思います。質問者様のハンガリー語の知識がどれほどかわかりませんので、一応下記に翻訳しました。
Keresek olyan friss házi tojást ami nyers fogyasztásra alkalmas.
(生食に適した新鮮な卵を探しています)
Ha tud hozni nekem, szeretnék vásárolni. Melyik nap jöhetek?
(手に入るようでしたら、購入したいです、どの日でいいですか？)

頑張ってください！

Apple payとか、大丈夫ですよ。
現金、うーん、ないならないでも、だいじょうぶですよ。千円札から、換金できるので、日本円、五千円程度、持ってきて、必要なら、換金で、どうでしょうか？どこでも、カードで、払えますよ。ワンタッチで、ピッ、なるか、暗証番号入れるか、ですが、別に、お店の人に、手渡してーなんてことは、全く無いので、カードで支払いで、何も、問題はないと思います。普段の生活で、現金全く使いません。