アメリカの電車は日本とはかなり違うので、初めて乗るのはちょっと不安ですよね。分からないことがあったら、駅の人をつかまえて聞いてみてください。
Union Stationの構造は、正面玄関はN. Alameda Stに面していて（駅の西側ですね）、Drop offもしやすいですし、写真を撮るのも綺麗です。中に入っていくと、重厚な感じのホールが左手にあります。椅子が沢山並んでいる大きな待合室をずっと奥の突き当りまで進んでいくと、お店がいくつかありますが、右側に自動販売機があります。行先を入れると、AmtrakとMetrolinkと両方買えるようになっています。日本の自動販売機とはちょっと違うので少し戸惑うかもしれませんが、やり方が分からなくて時間がかかるのは他の人もそうですから、慌てないで画面を見ながらゆっくり指示に従って買ってください。大抵、その自動販売機のところにはスタッフの人が立っていて分からないときは手伝ってくれます。また、右側のMetrolinkのカウンターが開いているときはそこで買うこともできます。
右に回ってからさらに奥に行くとAmtrakのカウンターがあり、そこで切符を買うこともできます。
切符を買ったら、ホームが何番線かを確認して、そこまで歩いて行きますが、時間帯や線によって、正面玄関の方に近いか、後ろの入り口（駅の西側、ということですね）に近いか異なります。ホームが確か15番線くらいまであって、そこの通路をずっと奥まで歩いて行くと後ろの入り口に出ます。後ろの入り口はPatsaouras Plazaといって、主にバスのターミナルです。LAXに10ドルでノンストップで行くFlyawayのバスもそこから出ています。
Metrolinkのカウンターと自動販売機は、その後ろの入り口のところにもあります。
ちなみに、お手洗いは、両方の入り口にあります。
駅の駐車場は、もう一つ、北のEast Cesar Chavez Aveから入るものもありますが、そこは、Amtrakの長距離バスの乗り場になっています。

初めてUnion Stationに行く場合には、Alameda St側の正面玄関の前で降ろしてもらうのが一番分かりやすいかと思います。

電車は、定刻通りに来ることが多いですが、遅延することもありますので、余裕を持ってスケジュールを組んだ方がいいと思います。日本のようにあちこちに電車の時刻や場所を書いたサインが掲示されている訳ではないので、駅員さんや、他の乗客の人に聞いて確認した方が安心です。
Metrolinkは基本的に通勤用なので、時間帯や休日は運転しなかったりしますが、線によっても違います。Amtrakの方が料金は高いですが、運転している時間帯は長いです。
MetrolinkもAmtrakもAnaheim Regional Transportation Intermodal Centerに行きます。とても大きなガラス張りの駅で綺麗です。

どちらの駅も、普段はそれほど混んでいませんが、通勤時間帯（4時過ぎくらいから）は混むのと、自動販売機も1，2台しかなく並ぶことがあるので、切符を買うのに手間取ることも考えて、時間は余裕を持って計画を立てられることをお勧めします。

お気をつけていらしてください。

ロサンゼルスの図書館は、ダウンタウンにある中央図書館を含めて、入館は誰でも自由にでき、閲覧できますが、貸出はカードを作らないといけません。IDと住所が必要ですから、観光で来られる場合には恐らく無理かもしれませんが、入館の際にID提示等は全く必要なく、自由に館内に入れます。日本語の（日本語で書かれた）本のセクションも2階にあります。日本語の本が恋しくなったときにどうぞ。

LAXは常に混雑していますが、特に今は拡張工事をしていますので、ターミナルにたどり着くまでにもかなり渋滞して時間がかかります。私も2週間前に利用しましたが、国際線の場合、さらに夏でいつもより混んでいますから、余裕を持って３時間前には着いている方が無難だと思います。

前日にアナハイムのホテルご宿泊とのことですが、もし大きなホテルであれば直通のシャトルを無料か有料で出しているところもあると思いますのでまず確認されたらよいと思います。Uberもディズニー付近でしたら時間にかかわらず見つかるとは思いますし、UberドライバーはLAXに行くお客さんを載せるのに早朝から運転している人が結構いますから大丈夫だと思いますが、ピックアップの時間を前もって予約するサービスもUberやLyft（Uberと同様のサービスを行っています）にはあると思います。また以前はUberで直接ターミナルまで乗り入れはできず、近くの駐車場等からシャトル等に乗り換える必要がありました。その点もLAXのウェブサイト等で調べておいたほうがいいと思います。

ただ、アナハイムからUberでLAXとなるとかなり高額になるとは思いますので、もし英語でやりとりされるようでしたら、SuperShuttle等、乗り合いのタクシーのようなものを予約する方が、時間は多めにかかりますが安めになります。
平日ですと、例えば北カルフォルニアや他州での朝一番の会議に出席するため、朝5時、6時台の飛行機で出張するビジネスマンは大勢いますから、予約は逆にしやすいかもしれません。
航空会社によっては、国際線ターミナルの3番ではなく、自社のターミナルで国際線発着するところもありますし、コードシェア便のため、購入した航空会社ではなくべつの航空会社のターミナルから出ることもありますので、どのターミナルで出発になるかをよく確認されておかれることをお勧めします（JAL、ANAの場合は3番ターミナルですが）。
お気をつけていらしてください。