ご参考にどうぞ。
http://re-lief.net/taipei-japanese-hotel/
日本人常駐に拘らなければ、日本語の通じるホテルはたくさんありますよ。

ss0810様

台北駅前の三越のビルのとなりのビルに
World Gym 健身倶楽部 - 站前店
というのがありますが、会員制なので飛込みでは無理かと思います。

別途、台北市大同区がやっている
臺北市大同運動中心－樓層簡介-3F健身房
http://www.taipeidt.com/tc/page.php?id1=3&id2=3
というのがあります。
こちらは公共施設なので安いです。
台北から淡水線3駅　民権西路駅から徒歩7~10分です。

ffpoco様
台湾在住のshigexと申します。
回答が遅くなり失礼しました。
台北の店を検索すると、下記3件がヒットしました。

寰羽羽球専売店
4.3 (15) · アウトドア スポーツ用品店
6.0 km · 台北市大同區民生西路169號‎
02 2552 9218
22:00 まで営業
https://www.facebook.com/huanyu.badminton/?v=wall#!

鐵哥的羽球專賣店
4.8 (20) · スポーツ用品店
9.4 km · No. 303, Section 2, Fuxing South Road
02 2738 8823
22:30 まで営業

凱将体育羽球専業店
4.9 (15) · エクササイズ用品店
6.0 km · 台北市大同區承德路二段156號
02 2553 8007
21:00 まで営業
https://www.facebook.com/chen.y.hui.50/timeline

またサイトとしては
露天拍賣
http://www.ruten.com.tw/
PChome
http://shopping.pchome.com.tw/
で「羽毛球（=バドミントン）」探してみて下さい。

なお、代講手数料は2000円でお願いします（送料は含まず）

バン様
台湾在住のshigexです。
連絡が遅くなりました。

空港⇒ホテルは、空港鉄道ができましたので、空港⇒台北を空港鉄道利用、台北⇒ホテルは、もしホテルがMRT（地下鉄）の最寄り駅であればMRT利用が便利と思います。

台湾は27日-30日が端午節の4連休となり、観光地はどこも込み合います。
たぶん九份への道は渋滞、平渓線は満員状態になると思います。

「滞在中の工程表の作成」というのは日本語⇒中国語への翻訳ですか
量や内容、状況にもよりますが、連休中の1日程度はお手伝いできると思います。

詳しい内容をご説明くだされば再度回答差し上げます。