ドーハ在住10年以上、2歳と0歳の母です。
ドーハ内のスーパーマーケットで、オムツや離乳食手に入ります。
オムツはパンパースが主流で、日本で買う紙おむつの質を求めるのであればパンパースのプレミアムが近いかなと思います。日本のほどよくはありませんが、問題なく使えます。
値段は日本の倍以上します。
離乳食は店によって様々ですが、フランス系のMonoprixやカルフールは大体品揃え悪くないです。
公共の場でのオムツ替え等の質問ですが、オムツ替えはトイレにオムツ替え台が設置してある所もありますが、無いところも多く、ベビーカーの上で替えることも多いです。Doha festival cityというモールは各トイレに綺麗な授乳、オムツ替えスペースがあります。他のモールはそうでない所が多いです。
Pearl内もトイレにオムツ替え台はありません。授乳は授乳ケープを使えばレストランなどでも問題ないことがほとんどです。
基本的に皆子連れには優しく寛容で、日本の方が子連れ移動は窮屈に感じます。
それから来月ですとまだまだ外はかなり気温が高いです。外を歩く機会はドーハにいるとあまりないですが、駐車場と建物間を行き来するだけでも暑くて赤ちゃんには可哀想です。逆に室内はどこも冷房ガンガンで冷蔵庫状態なので、脱いだり着せたり出来た方が良いかもしれません。
お子様連れで海外は移動も滞在も大変だと思いますので、心配なことがあれば何でも聞いてくださいね。

ドーハ在住10年以上です。
私の知る限り、日本語が通じる病院はありませんし、日本語が通じる医師もいません。
日英通訳を探して連れて行かれるしかないかと思います。

Marriott Marquis city center Doha hotelならシティセンターモールとホテルが直結です。
それ以外のホテルでスーパーマーケットが直結なところはありません。

Marriott Marquisホテルからカリーファスタジアムまでは道が混んでいない時間帯なら片道タクシーで3,40分です。

ドーハ市内はUberとCareemがどこでも使えます。ドーハ市内から市外に出る際は簡単に配車見つかりますが、市外からドーハ市内からに戻る際は配車されないと聞きました。Circuitからドーハ市内への帰りはタクシーかリムジンを予約されておいたほうが良いかもしれません。
Doha cabsというリムジン会社が信頼できるのでお勧めします。深夜早朝時間関係なく頼めますし、車も綺麗でちゃんと予約時間通り来てくれます。検索でウェブサイト見つかるかと思います。

日中の野外は半袖で全く問題ありませんが、カタールはどこでも屋内は冷房が冷蔵庫並みにきいていますので常に1枚薄い羽織ものをお持ちの方が良いです。
砂漠は夜はかなり冷え込むかと思います。(もう何年も砂漠に行くことはないのでわかりませんが。)