英語でも対応してくれますよ。
他の観光客とのグループ見学になるか、個人でも行けるかは確認した方がいいと思います。

ドモジェトヴォ空港はモスクワ郊外南部にあり、ホテルの駅は市内北部なので、公共交通の場合どうしてもルートが複雑になります。

無難な順ですと、こんな感じでしょうか。

①ウーバーなどのアプリで空港からタクシーを呼ぶ
所要時間：平日日中２時間前後、早朝深夜休日：１時間強
料金：渋滞状況や車のクラスにもよりますが、4000円前後だと思います。
※話しかけてくるタクシー運転手はほぼ間違いなくぼったくってきますので、
絶対にお勧めしません。アプリを事前にダウンロードしておいた方がいいと思います。

②エクスプレスで市内まで行き、そこから地下鉄（ルートは他の方のをご参考ください）
所要時間：30分おきに出ているエクスプレスで約40分、乗り換え約10分、地下鉄約30分の合計約80分～
料金：エクスプレス代が約1000円、地下鉄代が約110円
※エスカレーターが完備されておらず、階段移動しなければならない場合があり、
またラッシュ時は東京並みに混むので
大型スーツケース等、重い荷物がある場合はあまりお勧めできません。

③バスもしくは乗り合いバスで空港に一番近い地下鉄駅まで行きそこから地下鉄
ルート：308番の大型バスか乗合バスで地下鉄緑線の「ドモジェドフスカヤ駅」まで行き、そこから北上、
「トヴェルスカヤ駅」でグレー線の「チェーホフスカヤ駅」に乗り換え、さらに北上すると着きます。
所要時間：満員になり次第出発している乗合バスで約40分、乗り換え10分、地下鉄約50分の合計約100分～
料金：120ルーブル（現金のみ）
はじめての方には難易度高いです。まずバス乗り場からして分かりづらいです。
現地人向けで旅行者にはハードなルートだと思います。
どうしても安く済ませたい時や、旅慣れていて時間に余裕がある方だけ使うのがいいと思います。

日本のようにタクシーがべらぼうに高い訳ではないので①をお勧めします。

2017年3月時点でモスクワの地下鉄駅構内や街中にコインロッカーはありませんが、ターミナル駅にはあります。

荷物ごと移動できる「車でモスクワを観光するプラン」を提供しておりますので、ご検討して頂ければ幸いです。

①カード払いは大体の所で対応しています。（地下鉄の切符売り場・美術館・博物館・スーパー等）
キャッシングも大体のATMでできます。(VISAのエポスカード、楽天カードで下ろせました）
無難なATMは緑が特徴的なSberbankのと、赤のAlfa銀行のと、黄色のRaiffeisen銀行のだと思います。

手数料も空港や銀行で両替するより断然お得です。

②についてはできるところが非常に少なく探すのが大変な上、当日中にできず翌日渡しになる場合があるのと、そもそも両替レートが悪いのであまりおすすめできません。

中心部なら遅くても危険ということはありません。

強いて言うなら、酔っぱらいに気をつけるのと、人通りの少ない暗い路地の方には行かないほうが良いです。

日本から来た旅行者の方はモスクワ（中心部）の治安の良さに驚かれてます。

ただ、外国というのをお忘れなく、貴重品などにはいつも気を配っておいてください。