Albanyのbus terminalからport authorityまで出ているバスがありますよ。そこから、ミッドタウンのホテルまではタクシーでも地下鉄でも行けます。

http://locations.greyhound.com/bus-routes/destination/new-york-ny/albany-ny#searchResultsContainer

Albanyのバスターミナルまで行く手段がないのであれば、SUNY のダウンタウンキャンパス付近やアジアンスーパーからのもあります。
https://m.gotobus.com/albany-to-new-york-bus/

大変申し訳ありませんが、仕入れ等に関しましては、無知ですので返答しかねます。

申し訳ありません。

私を含め、何人かにあたってみましたが、急のことで子供などもいますので、大変申し訳ありませんが、今回はお手伝いができかねます。また機会がありましたら、ご連絡ください。

正直にお答えします。NYのマンハッタンに住んではない為、治安のほどはイマイチ現時点分かりかねます。

それを踏まえた上で、いくつかご案内をしたいと思います。

エアートレインは一番安いかと思われますが、乗り換えがジャマイカ駅付近であった為、一本でタイムズスクエアから行けなかったように記憶しています。又、時間も時間ですので、大きな荷物を持って、ジャマイカ駅付近の乗り換えはオススメできない状況です。
また、シャトルバスですが、グランドセントラル駅付近から出てるものや、ポートオーソリティーからJFKまで出ている直行のバスがあると思います。これの値段、時間等は把握していませんが、グランドセントラル付近であれば、メインのストリートを少しそれたところで待ってる場所があった為(特にバス停などの案内はありません)わかりにくかったように思います。
ホテルによっては、シャトルバスを提供してる所があります。無料のシャトルバスを提供してるホテルもありますので、確認されてください。また有料でも手配はしてくれる場合もありますので、確認されてください。
ご自分でホテルまでシェアシャトルバスを手配するというのもあります。
https://www.goairlinkshuttle.com/nyc-jfk-airport-share-ride-shuttle/?gclid=CIXqyN_Ivc0CFQZvvAodiPEJpA
これは利用したことがないのですが、シェアシャトルなので、値段もそんなにお高くないと思われます。ただ、自分でこのホームページにそって、申し込みを行ってください。ホテルまで迎えに来てくれるので、安全面ではいいと思います。

最後にもちろんタクシーのご利用もございますが、やはり一番交通費がかかってしまう可能性もあります。他のよりも倍以上、またが3倍ほどかかると思っていいと思われます。

エアトレインで行くのが時間的には一番確実にJFKに到着しますが、シャトルバスであってもタクシーであっても、朝の早い時間なので、混みすぎで遅れるということはそうそうないと思います。(NYCなので一貫にないとは言えませんが。。)

以上が私の意見ですが、最初に言いました通り、マンハッタン又は近隣には住んでませんので、少し状況が違うかもしれません。

メトロカードは日本のクレジットカードでの購入可能です。NYではVISAカード又はマスターカードが主流です。ほぼ全てにおいてクレジットカードが使えますので(今はタクシー内でも簡単に使えます)大きな現金を持ち歩く必要はないと思います。(日にちにもよりますが、財布に$100程度入っていればいいと思います)チップ代として、ホテルで払う分などはいるので、$1札を多めに持つことをお勧めします。レストランなどのチップはクレジットカードでの支払った後、チップを書く欄があるので、わざわざ現金で払う必要性はないです。

尚、逆に小さなお店では$100札$50札をを取り扱ってくれないところがあるので、現金を持つのであれば$20以下の現金を持つことをお勧めします。

楽しい旅行になることを祈っています。