まず、不安になる前にどういった場所なのか予習から始めてみては如何ですか？　
そして費用的なものは

航空券
宿泊
保険　
現地費用（食事、移動）
土産

が必要なのは既にご理解いただけているので、肝心なのはその配分です。
航空券に費用がかかればその分他の費用を圧縮となります。
宿はご自身がどういったタイプを求めているかでことなります。まずサイトを見て研究してはいかがでしょうか？自ずと宿泊に避ける予算も決まってくるかと。宿泊施設はネット上のサイトの手配で十分できます。
移動は最近の地下鉄の発達で台北市内の大抵のところは地下鉄で十分いけます。
食事は定番を抑えたいのではと思います。日本で発行の旅行ガイド、台灣の観光サイトで十分な情報を提供しています。
保険はきちんとかけてください。

近年、台北市内はインフラ整備が進み、旅行客にとっても移動しやすい地域になっています。又、日本と同じ漢字を使っていますので、路で人に訪ねてもかなり多くの人が親切に教えてくれます。どこの台としてでもそうですが日本語の案内も増えてきています。　

知らない土地なので不安は多いと思いますが、訪問先について事前に調べることでその問題は解決できると思います。まだ一ヶ月あるので、時間は十分あります。そして十分で一人で観光はできます。物怖じする地域ではないです。　

https://www.taipeinavi.com/
https://m.metro.taipei/jp/
https://www.tymetro.com.tw/tymetro-new/jp/index.php
https://www.koryu.or.jp/

8月中旬まだまだ暑い時期です。移動には暑い時間を避けるとか、朝からの移動をするとか、せっかく渡航するので存分に楽しんでいただきたいと思います。

安全とは言え外国であることはご理解ください。トラブルに巻き込まれないようにご自身で警戒も必要です。繁華街とか、夜の街の変な誘いには乗らないように。

いい街ですよ、台北。