【ゲーテ・インスティトゥート ハンブルク】はどうでしょうか。
私は通ったことがありませんが、知り合いの日本人で通学していた人も多く、その方々からはとても評判がよい学校です。
https://www.goethe.de/ins/de/ja/kur/ort/ham.html

日本人ではないのですがハイルプラクティカーの学校に通学、卒業された方知り合いに数名おります。ドイツは州によって学校や試験については異なることが多いので私の住んでいるハンブルクの情報になりますが、数名の知り合いの学歴をみるに、日本の高校を卒業されていれば問題ないのではないかと思います。しかし学校によっては入学の条件が厳しかったり、他にもあるようですので（ドイツ語能力、健康状態など）ので直接問い合わせなさる必要があると思います。

中央駅からホテルに移動するだけでしたら大丈夫かと思いますが中央駅の周辺は以前ほど治安は悪くはないように私は感じますがそれでも人は多いですし夜は特に治安が良いとは言い難いですので暗くなってからの外出には女性とお子様とのことですので十分にお気をつけになられたほうが宜しいかと思います。
デパート（カールシュタッド）Karstadt、ショッピングモールのオイローパ・ パッサージュ(Europa Passage)が中央駅の隣駅Jungfernsteig（ユングフェルンシュティーク）にありましてそれほど高くなくお土産も買えるのではないかと思います。
またドラッグストアのRossmann（ロズマン）、BUDNI(ブドゥニー）などにも日常雑貨やおもちゃなどが売っていてお手頃価格でお土産になりそうなものがあるのではないかと思います。
もちろんRewe(レーヴェ）、EDEKA(エデカ）などのスーパーでもお土産になりそうなドイツのお菓子が買えると思います。

博物館や美術館、レストランやカフェなどは空いていますのでそういったところで過ごされてもよろしいのではないかと思います。