ジョージアにご興味を持っていただき、さらにご質問いただきましてありがとうございます。

当方は昨年11月末に日本を発ち、1月からジョージアの東端に滞在しております。

スポーツは、サッカーや柔道はとても人気のようですが、生活に余裕がある一部の人たちに限られているように感じています。
当方は首都に住んでいるわけではないので、競技場などのことも全く存じ上げないのですが、首都にひと月ほど居た際には、スポーツジム等も見かけましたし、剣道をしていたという知り合いもいます。しかし、学校以降の定期的な運動、またスポーツのグループ等について耳にすることが少なく、おそらく日本の50年前ぐらいの状況と同程度と考えていただいてよろしいかと思います。
学校またはスポーツ団体の練習の様子の見学等をご希望ということでしょうか？
とくに現在つてがあるわけではないのですが、聞ける人に片っ端から聞いてみる、ぐらいは可能ですので、具体的なご希望をお聞かせいただきましたら、できるだけはさせていただきたいと思います。
スポーツには関係ありませんが5月31日には首都で「Georgian Wine and Regions Festival」というのがあります。伺う予定にしております。

ラム酒の醸造所はないのではないでしょうか。
原料となるさとうきびの栽培がおこなわれていないと思われます。
ウィスキーはあるかも？です。
醸造（distille)としてはチャチャというスピリットがワインの副産物的な製品としてあります。またワインメーカーの中にはコニャックを作っているところがあります。
当方がいるのは東の端のデドプリスツカロというところですが、チャチャやコニャックを作っているワインメーカーさんがいらっしゃいますので、ご興味おありでしたら、ぜひお越しください。当地には当方が知っているだけで20数か所のワインメーカーさんがあります。
ご案内させていただきますのでご検討くださいませ。

当方は国のプログラムで滞在中のため、あまり参考にしていただけることがありませんが、航空会社のサービスセンターにおりましたので、ペットの輸送は多少わかります。基本、航空会社によって規定が異なりますので、ご利用になる航空会社のホームページで検索いただくのがよろしいと思います。当方はドイツ系でしたので、現在はとても時間がかかってしまいます。ペットの負担を考えると、なるべく短い時間での移動をお勧めいたします。機内持ち込みの枠が決まってますので、ご予約時に、枠が空いているのを確認してペットの枠を確保したうえでご予約ください。機内持ち込みは無理のない姿勢で高さ２３㎝に収まる大きさである必要があります。当方がおりましたところでは、ウォータープルーフ、スメルプルーフで、座席の下におさまる大きさです。それ以外は機内にてのご旅行はできませんので、猫ちゃんの場合はケージの小サイズでの輸送となります。予防接種や証明についてはホームページでしっかりとご確認ください。また事故がないわけではありませんので、その点はご承知おきくださいませ。事故についても各航空会社が報告をしております。

網戸についてですが、網戸はありますし、なければ施工も可能なようです。ただし、言葉の問題がありますので、何事もスムースに進むことはないだろうという覚悟はあったほうがよろしいのでは？と思います。

首都には英語が使えるクリニックもあります。が、病気にはならないというぐらいの気持ちでどうぞ。当方がおりますところでは医者といえども英語なんて、、、という感じです。きっとロシア語ならわかるんだと思います。
参考までに、半年で１０㎏近く体重が減りました。自分自身でも健康で減ったのか？不健康で減ったのか？不明ですが、ストレスで、だと捉えております。

チェックイン時の制限ですよね？そのあと免税品店で買う分にはこれは適用されないと思いますがいかがでしょうか？
ま、飲んでみておいしかったものを購入されたいってことですよね、、、
郵送または配送業者に依頼するも可能だとは思いますが、、、あとは日本からの旅行客を捕まえて協力してもらうのが一番現実的なような気がします。郵便局があまりないし、リスクが高いし、、、
他には、日本へ輸出したいと考えているワイナリーや日本でのワインフェスに参加するところも増えてきてますので、別の方法での楽しみ方を探してみるのはいかがでしょうか？