個人的にはInlingua(キャンパスはダウンタウンのgastownです)がおすすめです。バンクーバーで数多くある語学学校の中でカナダだけでなく他の国でも英語はじめ多言語を教えているInlinguaがいいかと思います。半年余りで受入れの最低年齢に満たしてないにも関わらず、日本人のコーディネーター(Izumiさん)や受付のYokoさんの手助けもあり、満足度の高い経験ができました。また、iLacやUBCやLangaraに付属する語学学校やコースもいいと聞きます。日本人の斡旋や日本人が多い評判の学校だと英語を使う機会が減り、自分に甘えてしまう事も考えられます。多国籍で会社が小さくなければ少しは安心だと思います！

バンフに行くのであれば、バンクーバーの滞在は2泊で最低限の観光をするのに十分かと思います。2人の子供がいることを考えても、カナダの自然を満喫する方が充実した旅行になると思います！バンフは観光地として知られていますが、近辺には湖や山など周りきれない数があり日本にはまずない自然だと思います(I guarantee!)。カルガリーからレンタカーでのバンフまでの旅程はいいと思います。そんなに遠くないのと、道も比較的わかりやすいと思います。またバンクーバーとバンフのあるアルバータ州には1時間の時差があり、バンクーバーの滞在が長いと少しでも体にストレスかもしれません。

率直に質問にお答えすると、
①息子さんもワクチン接種の対象になります。
②予約、接種共に可能なはずです。
③ワクチンは無料です。
④ワクチンの予約が受理されれば通学していても接種が可能で、接種を理由に早退、遅刻、欠席しても問題ないはずです。
⑤会場は複数あり、日時を選んで(オンラインもしくは電話で)予約できるようになっています。
⑥ 原則として国籍問わずカナダに生活する人を対象(現在は18歳以上全ての人)にワクチンが受けられるようになっています。ワクチンの予約は2段階になっていて、まずは電話かオンラインで登録をします(個人情報、保険番号、連絡先等)。その後、数日後に連絡が来るので接種会場と日時を指定します。予約にはMSP(国民健康保険)のPersonal Health Number(個人保険番号)が必要です。3ヶ月以上留学する人はBC州のMSP(国民健康保険)に入る必要があり、手続きはUBCならサポートしてくれるはずです。だいたい入学した最初の週にするように薦められます。手続きして数週間で加入されます。ただし、ワクチン接種に関しては
番号がまだもらえていなくても、予約をしたい場合はその旨事情を説明すれば進められると思います(この場合は電話で)。カナダ当局が外国からの渡航者(出発国、渡航ルートによって指示や措置が違う気がするので一概には言えませんが)、自己隔離者、予防接種対象者それぞれに何を優先させるかで制限が変わってくると思いますが、自己隔離直後でもワクチンが受けられると思います。
ちなみに、旅行代理店が言う「番号」とはMSPを証明するBC Services Cardに書かれた個人保険番号(Personal Health Number)のことであり、このカードは滞在中パスポートに次ぐ身分証にもなります。
今回の回答は今現在の政府の情報なので渡航直前、直後にも確認するといいと思います。

滞在中のスケジュールや、行く場所によって大きく異なりますが、交通費で例えば1日パスで$10.25(およそ800円)、レストランで一皿$20(およそ1600円)かかります。