一応経験上でアドバイスさせていただくと、
スケジュールについて
8:30 　セントパンクラス駅着 → 9と3/4番線で写真撮影
　 かなり混むので、朝のうちに済ませたほうがいいですが、
　　　ガストロパブ終了時間によっては後に回すことは可能
10:00　ビッグベン・ウエストミンスター寺院（外観） → 衛兵交代式へ
　　　衛兵交代式はバッキンガム宮殿で11:00頃スタートのため、
　　　9と3/4番線を出る時間によって調整必要
　　　場所取りを含めて10:15〜10:30頃には到着しておくと安心です。
11:30 大英博物館へ移動 → 12:00 入館
　　　→ バッキンガム宮殿から大英博物館まではバスまたは地下鉄で約25〜30分。
　　　ロゼッタストーンだけを目当てにすれば、1時間ほどでも十分楽しめます。
13:30 ガストロパブでランチ → 16:30 セントパンクラス駅へ
　　　→ パブでのんびり1時間半〜2時間過ごしても、16:00頃には駅に戻れる想定。
　　　ガストロパブ後1時間程度を覚悟で9と3/4番線の写真撮影を持ってくることは可能

おすすめのガストロパブ（駅や観光地からアクセスしやすい）
①The Norfolk Arms（ノーフォーク・アームス）
セントパンクラス駅から徒歩約5分。スペイン風タパスとビールが楽しめる、雰囲気の良いガストロパブです。
②The Harwood Arms（ハーウッド・アームズ）
ミシュラン星付きのガストロパブ。時間に余裕があれば特別なランチに。

余裕があればやりたいことについては
① ハロッズ：大英博物館から地下鉄で約20分。時間的にややタイトですが、パブの後に1時間だけ立ち寄るのは可能です。
②バンクシー作品：ロンドン中心部ではショーディッチ周辺に点在しています。今回は時間的に難しいですがこだわりの作品が特になければ可能かもしれません

各地を効率よく巡るために、現地事情に合ったルート選びや、予定変更対応もあります。ネット情報は便利ですが、調べる手間、時間や確実性を考えると、現地ガイドを頼るのもひとつの方法かと思います。
私はロンドン在住2年目で、人見知りせず好奇心旺盛な性格です。その方に合ったロンドンの魅力を効率良くご案内できます。調べる時間は私にお任せいただき、目の前の景色を存分に楽しんでいただけたらより楽しめるのではと思います。よろしければ、ぜひお気軽にご相談ください。

視察も兼ねてロンドンをご訪問されるとのこと、とても楽しみですね。
ロンドンには、築年数の古い建物から近代的な建築まで幅広く残っていて、地震が少ない土地柄ゆえに保存が可能なのだろうと感じます。
戸建て住宅ではありませんが、バービカン・センターをお勧めします。ブルータリズム建築の代表的存在として知られ、無骨なコンクリートの外観が景色にうまくマッチして、独特の存在感を放っています（動線は不便だけど）
他にもたくさんあるので、充実したロンドン旅行になるといいですね。

Terminal5にフォートナムアンドメイソンがあったので、調べたところ、午後3時であればアフタヌーンティーのメニューがありました。
もし時間が合えば本店でアフタヌーンティーをするより若干安いので、ここが良いのではと思います。
詳しくは下記リンクを確認してください。
https://www.heathrow.com/at-the-airport/restaurants-a-z/fortnum-and-mason-bar

Edinburghは行ったことがないので、アドバイスできず、申し訳ございません

昨年度ステートルームの見学へ行きました。
3日前に予約してもできたので、すぐに予約でいっぱいになるということはないかなと思います。
※特別なイベント、バルコニーも含む限定入場券などは除きます
ちなみに今年度は下記のように書いてありますが、前売りなどの情報はありませんでした。
https://www.rct.uk/visit/buckingham-palace

また9時半に予約し、11時に出てきてチラッとでも交代式を見た後に11時半にウエストミンスターを予約したいと思っているのですが

どれくらい混んでいるかもありますが、駆け足で見て１時間半弱で見ておいたほうが無難かと思います。
それなので個人的には上のスケジュールはちょっと難しいかなと思います。

参考になれば幸いです。

こちらで駐在帯同しているものです。
ロンドンの地下鉄は歴史が長いため、改札からホームまですべてエレベーターとエスカレーターでつながっている駅があまりないです、一部エリザベスラインではステップフリーアクセス（段差なしで移動できる設備）が整っている駅もあります。以下の駅では、地上からホームまでエレベーターを利用できます
- **キングスクロス・セントパンクラス駅（King's Cross St. Pancras）**
- **トッテナムコートロード駅（Tottenham Court Road）**
- **ボンドストリート駅（Bond Street）**
- **グリーンパーク駅（Green Park）**
- **ウェストミンスター駅（Westminster）**
- **カナリー・ワーフ駅（Canary Wharf）**
- **ストラトフォード駅（Stratford）**
ただし古い線はないと思います
一応下記に記載があるのでチェックしてください。
https://tfl.gov.uk/travel-information/improvements-and-projects/step-free-access#on-this-page-0

ヒースロー空港からエリザベスライン、ヒースローエクスプレスを使えば市内までそんなに時間はかかりませんので、市内観光も可能です。トットナムコートロード駅から大英博物館まで歩いて１０分程度です。またボンドストリート駅からジュビリー線に乗り換えてウエストミンスター駅で降りるとビッグベン、ロンドンアイ等も見れます。サッカーの知識がないのであまり参考になることは言えませんが、地元のパブなども気軽に寄れます。もし参考になれば幸いです。

ご質問の回答ですが、バッキンガム宮殿の中にあります。
ただ、バッキンガム宮殿内はキングがウィンザー城で過ごしている夏の間しか入場できません。
この時期か、ほかの美術館、博物館に貸し出しをしている時を狙ってみるしかないでしょうね。去年バッキンガム宮殿内の見学をしましたが、確かにこの絵はありました。

アフタヌーンティー子連れなら、上記候補もとても良いですが、最近Shardへ行ったらとても良かったのでお勧めします。今だとピーター・パンアフタヌーンティーを開催していて、お子様も喜ぶ気分が上がりそうなメニューです。確か子供メニューもあった気がします（そこは不確かで申し訳ありません）。Shardのホームページでメニューを確認できると思います。ぜひお楽しみください。

コインランドリーとランドリーサービスはありますが、割とお値段高いです。クリーニングも日数がかかるので、宿泊先で下着等は手洗いで済ませるとかも良いと思います。

依頼のところで記載すると金額が発生するので、こちらに回答します。
結論から言うと大丈夫ですよ。
ミラノ空港からたぶん投函する必要もなかったと思います。
実はミラノとかスペインは大丈夫なのですが、ドイツで関税ポストに投函して戻ってこなかったことがあるので、投函しなかった電子スタンプとかの封書一式は念のため写真にとるか、２か月くらい保存しておいた方がいいです。
あと、もし今回失敗しても最後パリがあるので、そこで投函も出来ます。

いろいろと不安はあるかと思いますが、楽しんでください！