ヒースロー空港からエリザベスライン、ヒースローエクスプレスを使えば市内までそんなに時間はかかりませんので、市内観光も可能です。トットナムコートロード駅から大英博物館まで歩いて１０分程度です。またボンドストリート駅からジュビリー線に乗り換えてウエストミンスター駅で降りるとビッグベン、ロンドンアイ等も見れます。サッカーの知識がないのであまり参考になることは言えませんが、地元のパブなども気軽に寄れます。もし参考になれば幸いです。

ご質問の回答ですが、バッキンガム宮殿の中にあります。
ただ、バッキンガム宮殿内はキングがウィンザー城で過ごしている夏の間しか入場できません。
この時期か、ほかの美術館、博物館に貸し出しをしている時を狙ってみるしかないでしょうね。去年バッキンガム宮殿内の見学をしましたが、確かにこの絵はありました。

アフタヌーンティー子連れなら、上記候補もとても良いですが、最近Shardへ行ったらとても良かったのでお勧めします。今だとピーター・パンアフタヌーンティーを開催していて、お子様も喜ぶ気分が上がりそうなメニューです。確か子供メニューもあった気がします（そこは不確かで申し訳ありません）。Shardのホームページでメニューを確認できると思います。ぜひお楽しみください。

コインランドリーとランドリーサービスはありますが、割とお値段高いです。クリーニングも日数がかかるので、宿泊先で下着等は手洗いで済ませるとかも良いと思います。

依頼のところで記載すると金額が発生するので、こちらに回答します。
結論から言うと大丈夫ですよ。
ミラノ空港からたぶん投函する必要もなかったと思います。
実はミラノとかスペインは大丈夫なのですが、ドイツで関税ポストに投函して戻ってこなかったことがあるので、投函しなかった電子スタンプとかの封書一式は念のため写真にとるか、２か月くらい保存しておいた方がいいです。
あと、もし今回失敗しても最後パリがあるので、そこで投函も出来ます。

いろいろと不安はあるかと思いますが、楽しんでください！

いいホテルというよりは泊まらない方がいいホテルですが、パディントン駅のヒルトンはやめた方がいいです。
ヒースローエクスプレス使うのに便利なので、つい予約したくなるけど、宿泊した親族、知り合い共にかなりサービスが悪く、水も毎日もらえないと言っていました。
もしお役に立てれば幸いです。

フィッシュアンドチップスはそんなに知らないので一つですが、ドレスコード不要でアフタヌーンティーは下記ですかね

王立取引所内にある「ザ・フォートナムズ・バー＆レストラン」です
王立取引所も観光地なので、観光も兼ねて行けます。
https://www.fortnumandmason.com/the-bar-and-restaurant-at-the-royal-exchange-london

あと、スコーンの味がおいしいのはコッツウォルズに本店があるこちらのお店の支店です。
はっきり言って雰囲気は別にというところですが、食べ物がおいしいです。
https://huffkins.com/pages/oxford-street-cafe-bakery-london-john-lewis?srsltid=AfmBOor6fvkC5-wkkZM7NvnnSIs6mAQIfABoDy61upRQbpck2jjH5ZRW

フィッシュアンドチップスで雰囲気が良く、カジュアルなのは
The Ivy Market Grill
https://ivycollection.com/restaurants/the-ivy-market-grill/
他にもイギリス料理が食べれて、そこそこおいしいし、おしゃれです。

私もこちらに来たときはアフタヌーンティーとフィッシュアンドチップスのお店を探したので、投稿者さんの質問を見て、懐かしいなと思いながら回答しました。
お役に立てると光栄です。

薄手のユニクロのライトダウンを持ってくれば十分だろうと思いますが、8月であれば私はUVカットの薄手パーカーくらいで過ごしています。
他のヨーロッパの国に比べて寒く、夏物があまり必要ない国ではあります。
特に日本からくると暑さのギャップにびっくりします、雨が降るとすぐに15度位下がりますのでご注意ください。

ウェストフィールドショッピングセンターは近いのでよく行きます。
センター内にはWaitRoseとSainsburyがあります。
ガイドブックを見るとWaitRoseは王室御用達のと書かれていて若干高めですが、ものによっては安く買えるものもあり、日本の高級スーパーみたいになんでも高いわけでもありません。
ウェストフィールドショッピングセンターは2つとも簡易ショップではないので比べるには便利かと思います。
メーカーにもよりますが、イギリスで洋服を買うことは考えない方がいいかもしれません、割高感はあります。

イギリスのスーパーでばら撒き土産はcadburyのチョコレートはいかがですか。チャーリーとチョコレート工場のネタになったと聞いています。
borders、foxesのクッキーもおすすめです。
紅茶もヨークシャーティーのビスケット味が日本で買うと高いという噂を聞いたので帰国のときにはいつも購入します。
いずれもスーパーで気軽に購入できるので、ぜひお試し下さい