白人以外の人種に対する偏見がないと言えば嘘になりますが、今のご時世であからさまにアジア人に対して差別的な行為をする人はいないと思います。（それこそご友人のSouthern Statesに対する偏見かと）
メキシコとの国境に近い場所では、突然検問があってパスポートを提示するように言われることがありますので、国外に出ない場合でも必ずパスポートを携帯することをお勧めします。

遅くなりましたが以下回答します。
①　残念ながら、ヒューストンは公共の交通機関が乏しく、歩いて観光地を移動できるような都市ではないんです。観光地（といっても多くはありませんが）がそれぞれ離れています。また、ダウンタウンを夜間に歩きまわるのは治安の問題上お勧めしません。したがって、移動手段は基本的に車しかありません。運転に自信があれば空港でレンタカーを借りるか、UBERないしはLyftのご利用をお勧めします。ホテルはダウンタウンでもギャレリア周辺でも良いかと思います。ギャレリアまで徒歩で行けるホテルであれば食事や買い物で困ることはないと思います。
②　1月はまだ先ですが、スペースセンターが混みあって入場できなくなったという話は聞いたことがありませんので、いつ購入しても大丈夫かと思います。水族館や美術館にも行く予定であればCityPASSの購入をお勧めします。
③　具体的な日程がお決まりであれば、場合によっては対応可能かと思います。

移動手段によりますが、距離的にはヒューストンの方が近いです。
ダラスもヒューストンもそれほど観光する場所はありませんが、どちらかと言えばヒューストンでしょうか。
オースチンから比較的近いサンアントニオの方が観光するには良い街だと思います。

GRBはダウンタウンになります。

ヒューストンと言っても広いので、観光の目的や行き先が決まっているのであれば地区を絞ってアドバイスしやすいかと思います。

ANAの地図が示すように、荷物の受け取りはターミナルEとなります。
したがってターミナルEの出口で合流する場合ことになります。

ヒューストン市内の移動はUberかLyftが安くて便利なのでオススメです。
市内であればたいてい５分程度で迎えに来てもらえますし、出発時間が決まっているのであれば事前に予約もできます。
スマホのアプリの地図で行き先を入力しますので、運転手に英語で細かい指示を出さなくて良いのも利点です。

国内線をお勧めします。
ヒューストン国際空港（IAH)からオースティン行きのバスはないと思いますので、一旦市内まで移動してからバスに乗ることを考えると、時間的にも費用的にも国内線の方が良いと思います。

ASAMIさん
ご質問ありがとうございます。
Rice大学を訪れてみてはいかがでしょうか。キャンパス内に一般も利用できる図書館がありますし、近くのRice Villageのショッピングモール周辺にはカフェやレストランが多数あります。
Rice大学はヒューストンの中心部のやや南側、Museum Districtと呼ばれるエリアのそばにありますが、Museum Districtには自然科学博物館、美術館、動物園、ハーマンパークなどがあります。この時期（３月）は天気が良ければのんびり散策するのに最適ではないかと思います。体力とお時間が許せばハーマンパーク内の日本庭園も訪れてみてください。
さて、ヒューストン観光でいつも問題になるのが移動手段です。基本的に自動車で移動することを前提にした街づくりなので、公共の交通機関も極めて少なく、自動車以外での移動はひどく困難です。空港でレンタカーをするか、UberあるいはLyftを利用できるよう準備されることをお勧めします。
ぜひ楽しんでください。

ms02090314さん

ヒューストンに２日半、短いようですがちょうど良いですよ。ヒューストンは正直言ってニューヨークとは比較にならないほど観光するところはないです。ヒューストンは全米で５本の指に入る大きな町ですが、日本人は他の大都市と比べてかなり少ないです。日本人の観光客もほとんどいません。

まず、ヒューストンに観光で来られた場合に問題になるのが足ですね。公共の交通機関がほとんど無く、バスもルートや本数に制限がある上、利用客も低所得者層が多いので、乗っていて気持ちがいいものではありません。ましてや、若い女性一人ではお勧めできません。
運転免許をお持ちであれば空港でレンタカーする手段もありますが、海外旅行が初めてのようですので、いきなり左ハンドルに挑戦するっていうのも勇気が要りますよね。タクシーですが、いわゆるイエローキャブとかもあるにはありますが、捕まえるのに一苦労です。
移動手段として一番のお勧めはUBERだと思います。日本ではまだ解禁されていませんが、UBERはタクシーより安くて便利ですので、スマホにアプリをダウンロードして会員登録しておくと良いと思います。

もし宿泊先が決まっていないのであれば、ギャレリアショッピングモールから徒歩圏にあるホテルをお勧めします。この時期、ヒューストンは暑いので日中も夜も外を歩いている人はほとんどいませんが、ギャレリアなどのショッピングモール内であればエアコンが効いていますし、女性一人で歩いていても安全です。
スペースセンターは行く価値があるかどうかは意見が分かれますが、個人的には行くのであればがっかりするのを覚悟して行かれたほうが良いと思います。（ちょっと郊外にあるので、またまた移動に難ありです。）
あとは、レストランでしょうか。世界各国の料理を堪能できます。地元の料理であれば、ステーキ、TEXMEX（テキサス風メキシカン料理）、Cajan（ケージャン）料理などでしょうか。それ以外にも和食、中華、インド、地中海、中南米、・・・書ききれないほどたくさんあります。

とにかく楽しんでください！