hisa_28さん、こんにちは！
回答が遅くなりすみません。
もう解決されてるかもしれませんが
お答えさせていただきます。

中区の何駅かは分からないのでおおよその回答にはなりますが、
バスでも、地下鉄でも約1時間30分くらいになります。

ただ、バスの場合だと乗り換えなしで料金は15000ウォン(1500円くらい)

地下鉄の場合は一回乗り換えて料金は4150원(415円くらい)

になります。
個人的な意見ですが、初日に空港で地下鉄に乗っておくと地下鉄の利用方法や交通カードの買い方、チャージの仕方などを本格的な旅行の前に練習できるので地下鉄のほうがおすすめかもしれません^^ 料金も安いですし！

また、Wi-Fiですが、ソウルは地下鉄や町中にフリーWi-Fiがあるんですが、韓国の携帯じゃないと接続できなかったりするので、Wi-Fiはレンタルされるのがおすすめです。

グルメに関しましては最寄駅や中区の中のどこらへんというのを教えていただければ
ご紹介いたします。

質問ありがとうございました^^