ケアンズをおすすめいたします。日本から一番アクセスしやすいということもあり日本人にとても人気です。私はシドニー在住ですがケアンズは空港から少し離れたらすぐに田舎になり、シドニーと比較して地元の方と交流できると思います。5月のシドニーやメルボルンは日によって少し寒いですが、ケアンズなら暖かくて過ごしやすいというのもおすすめの理由です。

それぞれ1時間程あれば一通りみることが出来ると思います。

７日間連続のツアーとなるとわかりかねるのですが、毎日様々なツアーがありますので、それらを組み合わせれば可能です。
レンタカーで回るとすると、ブルーマウンテンズ（世界遺産のきれいな山々）、モリセットパーク（野生のカンガルーに触れる）、ハンターバレー（ワインのテイスティングができる）等がおすすめです。それぞれシドニーの中心地から片道３時間程度は必要です。
ホテルはシティの中心地が良いと思います。地方に泊まるとどこに行くのもとても不便になります。駅で言うとセントラル駅、タウンホール駅、ウィンヤード駅、サーキュラーキー駅が中心地になります。シドニーで最も知名度のあるオペラハウスとハーバーブリッジはサーキュラーキー駅にあり、それ以外の上記の駅も徒歩圏内です。