仙台城跡とは青葉城址のことだと解釈だとすると、時間帯にもよりますが、公共交通機関であれば、仙台駅前からるーぷる仙台というバスに乗って仙台城跡 (青葉城址)でおりるのが便利かと思われます。仙台駅前にはタクシーが沢山停まっているので、時間帯が合わない場合はタクシー利用も考慮されてみてはいかがでしょうか。
松島の場合はいずれの交通手段であれ、歩くことが多くなると覚悟されておいた方がいいかと思います。松島のどちらに行かれるかにもよりますが、観光船や牡蠣小屋＆瑞巌寺方面と仮定し仙台駅を起点とすると、公共交通機関であれば仙台駅からJRで松島海岸駅まで利用されるか、仙台駅でレンタカーを借りると便利かと思われます。
地元の者はクルマ移動が多いですが、レンタカーを上手く利用していらっしゃる観光の方をよくお見掛けします。