「購入者が自らピックアップする」という引渡条件になっています。車を持っていないので自分ではできませんし、頼める友人知人も思いつきません。どうぞ悪しからず。

具体的な時期がわかりませんので回答に困りますが、おそらくお手伝いできるのではないかと思います（ドイツ語はビジネススキル）。ただし、バレエのことは何もわかりません。ロコの中で、バレエにくわしい方がおられれば、そういう方の方が良いかもしれません。

①鉄道などの公共交通機関でアクセスしやすい or 比較的安価なスキー場はどこでしょうか？
→ Oberperfuss - Rangger Köpfl インスブルックの近くです。オーストリア連邦鉄道（OEBB）最速列車で行くことができます。どこからオーストリアに入られるのかわかりませんが、場合によっては空路も可能かもしれません（インスブルック空港）。
②スキーツアーを開催している旅行会社名、支店はありますでしょうか？ → ski gruppenreisen österreich　で検索してみてください。
③ウエア&板のフルレンタルをした場合のおおよその金額　→次のサイトが少しは参考になると思います。https://www.intersportrent.com/de/rent-shop/products/

経験はありませんが、ちょっと調べたところによると、難しくはないようです。今日現在で、次のような直通列車があります。

ウィーン発６：４９　フランクフルト・アム・マイン中央着１３：３６（ICE228）
ウィーン発９：１３　フランクフルト・アム・マイン中央着１５：３６（ICE28）
ウィーン発１１：１３　フランクフルト・アム・マイン中央着１７：３６（ICE26）
ウィーン発１５：１３　フランクフルト・アム・マイン中央着２１：３６（ICE22）
ウィーン発１７：１３　フランクフルト・アム・マイン中央着２３：５７（ICE20）

途中で１〜２回乗り換えをすれば可能性は増えますが、慣れていない方は直行便が良いと思います。

街中でよく見かけます。ざっくりですが、ここ数年で増えているように感じます。Waschsalon、Waschcenter、Waschtreff　などのキーワードで検索してみてください。そこそこヒットするはずです。利用経験はないので「おすすめ」できる情報もありません。悪しからず。