PuchongならKLよりもマラッカ寄りですので1時30分で行けると思います。タクシーで片道5000円くらいだと思います。

GRABを使うのが簡単でお得だと思います。

マレーシア航空の71便は早着して3時台に着く事が多いですが、入国審査、手荷物の引取り時間を考えると到着ロビーに出られるのは4時半くらいになります。KLIAエクスプレスの始発は5時ですので、空港からバツケーブまではタクシーかGRABで行くことをお勧めします。GRABなら150リンギくらい、1時間です。バツケーブを見た後に、そこでローカル色豊かな朝食をとって、電車(KTM)でKLセントラルに行きます(8時着)。
LRTに乗り換えてKLCCに行き、ツインタワー見学(中に入ると1人3000円かかるので外から見るのがお勧め)、その後はペデストリアンデッキを徒歩でブキビンタンに行き、アロー通りをひやかします。ブキビンタンからMRTでミュージアムネガラ駅まで行き、KLセントラル発10:40発、KLIA着11:10着のKLIAエクスプレスに乗れば、13時発に余裕を持って間に合います。

ローカルフードがご希望ならPelitaがオススメです。http://www.pelita.com.my/p_finder_kl2.html
その他、ホテルに隣接したモール(スリア)内にもレストランやカフェがたくさんあります。

ミッドバレーにあるイオンスーパーのお茶売り場にありました。ただし、ティーバックではないタイプで30g入りMR19でした。パウダータイプもありました。ちなみにこのイオンモールにある人安という漢方店にはモリンガの実が100gでRM35で売っていました。

6/5-6は大きな祝日ですので休みのモスクが多いと思います。6/7からは土日を含めてほぼ通常営業だと思います。
ちなみにピンクモスクは通常12:00〜14:00は見学できませんのでご注意下さい。ご参考まで、国立博物館は6/5のみ休館、6/6は通常営業です。
交通は6/5-8はガラガラ、6/9は上り車線が混雑すると予想されます。