初めまして、メルボルンの事しかわかりませんし参考になるかわかりませんがご回答させて頂きます。
●10月と11月は雨の日はどれ位ですか？
→10月や11月は春でなので過ごしやすい季節になっていると思いますが、メルボルンでは夏でも1日で四季があるって言われる程温度が変わります。冬に比べると雨の日は少ないと思いますがとにかくレインコートとかいつでも羽織れる暖かい上着を持ち歩く事をお勧めします。

●夜何時頃まで外にいても安心でしょう。
→個人の感覚によって違いますが。日本に比べると治安は悪いです。もし、お一人ならば暗くなってからは知らない場所をウロウロしない方が良いと思います。

●タクシーを使った場合はボラれたりするのでしょうか…
→あまりタクシーに乗らないので個人的にボラれた経験は無いですが。カードでの支払いが出来ないタクシー運転手には気を付けた方が良いと聞いた事があります。Uberだと事前に移動距離を表示すれば大まかな金額も事前に表示してくれますが、先日ＷＡでUberのドライバーの暴行事件があったとニュースで聞きました。

●メルボルンは指定のICカードを購入しないといけないと見ましたが、切符とかは無いと言う事ですよね？バス・電車・船などどのような方法がスムーズですか？
→メルボルンではＭykiカードと呼ばれているICカードがあります。駅やコンビニで購入出来ます。
空港からcityまではSkybusと言うバスが出ていてそちらは切符で購入出来ます。シティではトラムが走っていて、フリーゾーンの場所は無料で乗車可能なのでもし観光だけでcityの移動だけで大丈夫ならトラムで色々な場所が回れると思います。

●バットマンアベニューやトレジュアリーガーデンズの方などへ行きたいのですが、移動手段はどれを使うのが良いでしょうか？
→ハッキリ場所が分からなくて申し訳ないのですがロイヤルボタニックガーデンの辺りでしょうか？トラムが無料なので移動しやすと思いますが。私は利用した事は無いですがＱＲコードなどで電動自転車等のレンタルもあるみたいです。

●英語力ゼロです。これを知っておけば良いというのがあれば教えてください。
→旅行での問題は今ならGoogleマップや翻訳でたいがいの問題は解消されると思います。
後、オースの警察は日本のお巡りさんみたいに道など教えてくれないそうです。
黄色と青色で大きなiのマークがある場所がインフォメーションセンターなので道に迷ったり、旅行でのアドバイスを色々してくれます。
後、万が一の為に飛行機降りたらスマホのGPSはオンにしておいた方が良いと思います。

色々書いてしまってすいません。他何かアドバイスあれば教えて下さい。
宜しくお願い致します。

→アドバイスになったか分かりませんが、素敵なシドニー、メルボルン旅行になりますように。

メルボルンでしか仕事はした事がないのですが、
選り好みしなければ都会のシドニー、メルボルンは見つけやすいと思います。
ただ、何処でもそうですが経験者や技術者は優遇されます。
仕事を見つけやすい時期やタイミングもあると思うし。
英語のレベルが高くてもローカルの仕事にこだわって30件以上履歴書を配った知人もいます。
地方に行けばファームの仕事もありますが肉体労働でかなり過酷だと聞きました。
実際に経験した人は終わってみたら良い経験だったって言う人もいます。