パディントン駅周辺限定ですと、The Victoriaというパブが、駅から南に降りた方向にあります。Google mapで検索された方がわかるかと思います。
ガイドブックなどでも紹介される内装が綺麗なパブです。フィッシュ&チップスが特別美味いという話ではないですが、雰囲気もよく入りやすいパブですのでお試しください。
ロンドン市街で超危険というところは聞きませんが、出来れば東側とテムズ川南のクロイドン近辺はオススメしません。

スーパーのモリソンズの(公園前)近くでしょうか？
そこ辺りだったら、高層の新しいマンションが立ち並んでいて人通りも多いですよ。
夜遅くはいずれにせよ人通りはまばらになります。駅からほぼ一直線の遊歩道でその辺までは行けます。
モリソンズより先の方とか、そこから橋を渡って南側のエリアになると古い下町風になるので、夜はちょっとです。
モリソンズの南側が現在マンション工事をしているみたいですので、管理人さんがいうように車の乗り入れは出来ないですね。

ロンドンパスとは2階建ての乗り降り自由の周遊観光バスのことでしょうか？
書かれている5カ所を1日に回るのは可能ですが、事前予約しておいた方が良いです。
タワーオブロンドンは見るだけで2-3時間はいるので朝イチがオススメです。
タワーブリッジはその後に行けるところですので、その後見られたらら良いです。
タワーオブロンドン前からUberボートが出ていますので、ウエストミンスターに移動すれば、良いかと思います。
セントポールは夕方も空いていますので最後でいいかと思います。
周遊観光バスはルートが決まっていて結構移動に時間がかかるので、あまりお勧めはしません。

時間帯によると思うのですが、宮殿前のマルという通りは、式典や衛兵交替の時間帯以外はタクシーなどの通行は可能ですので、正門近くまで行けます。
しかし、例えば衛兵交替式は11時ごろ開始なので、早い人は10時前くらいから宮殿前に来ています。それゆえに１時間前くらいから交通規制が開始されます。
規制時間帯にお越しになるならば、グリーンパーク駅辺りから公園を横切って向われるのがわかりやすく近いかと思います。
すみません状況が不確かなので、一般的な回答になりますが。

はいその通りです。25日はクリスマスで全て止まります。路線バスもダメです。
また、交通機関が止まるので、デパートだけでなくスーパーマーケットもお休みになります。
翌日の26日は交通機関も動き出しますが、本数が減らされているので注意が必要です。
旅行者が多い地区でも雑貨屋さんやクリスマスに関係ないレストラン(中東料理とか)が開いている程度かな。
ロンドン郊外、オックスフォードなども同じです。基本的に人の動きが止まります。
ということで、クリスマスは避けた方が無難だと思います。

衛兵交代までは、スケジュール通り行けます。
なお、移動手段として自転車を利用されると時間とお金の節約になります。ロンドン市交通局のやつだと1日乗り放題で3£です。appを事前入れておくと良いです。使い方はパリのステーション方式のものと同じ感じです。
大英博物館は事前予約されましたか？事前予約があるとスムーズに行けます。当日入場は可能ですが30分くらい並ぶかもしれません。ロゼッタストーンは、入って左側で、直ぐにわかるはずです。
博物館の辺りにもパブはあります。
王立裁判所横のThe Bank of England というパブは昔の銀行を改造して作られたパブで良いですよ。(徒歩20分)
または、Rock and sole plaiceと言うフィッシュ&チップス屋さんが博物館からちょっと下ったところにあります。有名どころですが混んでも座れるので、もしよければどうぞ。
一番近いバンクシーの絵はバービカンになります。自転車を使いこなせるならばいけるでしょう。ハロッズは遠くなるので難しいかな。

Royal Academy of Artsの常設に最後の晩餐のレプリカがあります。ダビンチの弟子が作った油絵で、一番本物の原形を残している絵だと言われています。常設展示は確か無料です。
あとはコベントガーデン近くにあるフリーメーソン博物館は面白かったと妻から聞きました。ご参考までに。

ストライキは頻繁と言うわけではないです。昨年と一昨年は大規模なストがありました。今年はインフレも収まったからか、大きなストはないですね。計画工事による休止が早朝や深夜に頻繁にあります。特に新幹線工事の関係でエリザベスラインで実施されることが多いので、そこは要注意です。ガイドの説明を聞きながら、効率的に観光するならツアーかな。
なお、ストや工事の際の代替交通手段はバスになります。最近はレンタルサイクルが街中に豊富にあるので、これを利用する人も多いです。でも長距離は向かないです。
タクシーは高いですがUberはリーズナブルだと思いますので、離れたところは使われたらいいですよ。
観光されたい場所がわからないので、街中中心での観光をベースに書いていますが、コーンウォールなど交通の便が悪いところでしたら観光ツアーで行かれる方が良いです。効率的に回れます。逆にオックスフォードやバース、カンタベリー、ケンブリッジなどへは、鉄道か高速バスが便利です。
ご検討下さい。

T3からシェパーブッシュですか。オーソドックスなのはピカデリーでハマースミスまで行って、ハマースミスでサークル／ハマースミス線乗り換えです。但し、両線のハマースミス駅は離れているので、街中を歩くことになります。T3からエリザベスラインでパディントンまで出てハマースミス線で戻る手もありますが、これも駅のホーム間が離れています。３名でしたらちょっと割高になりますがUberを利用された方が良いですよ。日本語版Uberアプリで呼べますし、明朗会計です。タクシーはやはりGettと言うアプリが便利です。お金の支払いもアプリ精算ですから間違えがありません。
Uberだとシェパーブッシュまで50くらいかな。タクシーだと70-80位かと思います。
オイスターとクレカの運賃自体は差はないですが、以下の2点は理解の上お使いください。
1)オイスターは改札を出て乗り換える場合は、通し料金で計算してくれます。ハマースミス駅での乗り換えでは便利ですね。あとバスの乗り換えも通しで出来ます。
2)オイスターカード自体を購入するのに5£入ります。このお金は基本的に戻ってきません。
以上です。ちょっと使いだけならばクレカでいいかと思います。
最後にシェパーブッシュは駅前のショッピングモール近辺ですと問題ないですが、それより西側に行くのはお勧めしません。
駅周辺で滞在下さい。

小さいお子さんをお連れで大変だとお察しします。JALはターミナル３に到着しますが、BAは基本的にターミナル５になります。結構離れています。地下鉄だと一駅以上離れている距離です。
よければJALのサポートサービスを利用出来ないか聞いてみてはどうでしょうか？到着後のサポートをしてくれるサービスです。確かJALのホームページから依頼が出来たと思います。但し、チケットの種類で利用可否が決まっていますのでご容赦下さい。
親子用トイレは館内にあるので、おむつの取り替えとかに無料で使えますよ。
ターミナル５の館内はお店が充実しています。フォートナム&メイソンのカフェもあり、お茶が楽しめます。ここならスコーンあります。
コンビニのようなお店も複数あります。
何処も同じようにところですので甲乙なしです。
朝方のレストランやカフェは朝食メインのところが多くなります。それ以外はCOSTAのようなカフェくらいかな。お子さん用は乏しいと思います。
子供のプレールームはあったような気がするのですが不確かです。すみません。
ターミナル移動は専用バスだと思いますので、JALに確認された方が良いです。
BAでもターミナル5以外の発着があるので確認要です。
ご不安だとお察ししますので、また何かご質問などあればお聞きください。