どうも、初めまして。
①市内は徒歩で歩ける大きさです。宿泊場所がダウンタウン迄徒歩ではちょっと遠い場合は、バスやタクシーを使うのが良いでしょう。バスは、もし何回も使うのであれば、ローカルが使うカードを使えば安く乗れますが、日本のSuicaと同じでそのカードの購入に５ドル必要なので、使うのが一往復ぐらいであればあまり意味ありません。
②９月初旬だと、７時くらいには暗くなったように思いますが、何時になっても別に歩けます。深夜に変な路地裏に一人で行かない限りは大丈夫です。朝晩はかなり冷えますので、夜に出る場合は暖かい格好で。
③完全な観光地でどの通りを歩いてもお店だらけです。オークランドと違って小さい街なので、効率的にショッピングも楽しめます。
④カフェでは、最近ローカルの支持が高いのはBespoke（https://www.bespokekitchen.co.nz/）というカフェです。ちょうどキーウィ・バードライフ・パークの近所です。朝食やブランチ、はたまたランチに良いでしょう。シーフードのディナーならfishboneが比較的リーズナブルでしょうか。ラムは、ぜひRack of Lambがメニューにある店で食べてください。でも、Rack of Lambが安いお店というのは思いつかないですね。僕は良く、Roaring Megsというお店を日本人のお客様にはお勧めしています。なにせ、NZの軽井沢のような場所ですので、なにかにつけて高めです。
⑤おすすめワインは、ぜひご自身の舌で見つけるのをお勧めします。ダウンタウン内のBeach StreetにThe Wineryというワインショップがあって、郊外のワイナリーに行かずに街中でいろいろなワイナリーのワインのテイスティングができる店があります。有料です。(https://www.thewinery.co.nz/)飲みやすい白であれば、適当に地元ワイナリーのPinot Grisのワインをテイスティングしてみてください。気に入ったワインが見つかれば、その店から直接日本への発送もやってくれます。
⑥キーウィ・バードライフ・パークは、入場料はHP（http://kiwibird.co.nz/kiwi/book-now/）で確認ください。お目当てはKiwi birdだと思うので、エサやりの時間（http://kiwibird.co.nz/kiwi/whats-on/daily-encounters/）を目指していくことをお勧めします。そうでないと、夜行性のKiwiは寝ているだけです。もし、園の係員がやるショウも見たいのであれば、その時間も考慮にいれていくと良いです。ぜひ日本語の音声ガイダンス（日本でもよく展覧会なので貸し出しているものですhttp://kiwibird.co.nz/kiwi/whats-on/audio-tours/）を借りて楽しんでください。これは入園料に含まれています。
⑦ツアーに何が含まれているのかが分かりませんが、ゴンドラ山頂駅からの眺めは、皆さんが行かれる場所ですね。あとは蒸気船のクルーズや、ジェットボートのツアーなどが人気です。
ワインがお好きなのであれば、半日のワイナリー巡りツアーに参加されるなども良いかもしれません。

リュージュの営業時間は、夏・冬ではなく、もっと細かく変わっていきます。
詳しくはこちらのhpでご確認ください。
https://www.skyline.co.nz/en/queenstown/things-to-do/skyline-luge-queenstown/queenstown-luge-open-hours/
リュージュの１回券はないと思います。２回からです。
https://www.skyline.co.nz/en/queenstown/things-to-do/skyline-luge-queenstown/queenstown-luge-prices/
同HPでコース図を見ていただければわかると思いますが、
１回目は勾配の緩いコース（コース図上では青線）を走行し、
２回目でやっとさらにチャレンジングなコースをおります。
なので、いずれにしろ２回はやらないと、やった気がしないと思います。
ゴンドラで登った丘の頂上エリアに、別途のチェアリフト設備があってそこにコースが設置されています。ですので、ゴンドラは往復券が必要になります。
ゴンドラの往復券とリュージュのセット券を買った方が、
若干お得になります。

お返事遅くなりすみませんでした。

先ずは１週間で可能かどうかと言う点に関しては、可能です。
ただし、レンタカーでの移動がお勧めです。
長距離バスの移動では時間的に窮屈な旅程にあるかと思います。

その他のお薦めの場所としてはクイーンズタウンの滞在をお勧めします。
フィヨルドランへはティアナウ滞在で楽しむことも可能ですがクイーンズタウンから行かれる方の方が多いです。
その他の点としてはオマラマのホットタタブもいいかもしれませんが、テカポにもそれに劣らないホットタブがあるのでテカポを連泊にしてそこを拠点にテカポ、マウントクックエリアを楽しまれる計画をされた方が効率の良い旅行になると思います。
なお、各拠点間の移動距離・時間の目安としてはこちらのマップを参考にされると分かりやすいと思います。
https://www.newzealand.com/jp/utilities/request-a-map/
PDFファイルでダウンロードできます。

上述のようにレンタカーがお勧めですが、長距離バスなどを利用しても、上記のように、観光拠点を少し絞ることで、可能です。ただ、繰り返しになりますが、旅程はかなり窮屈なものとなると思います。

返信が遅くなり申し訳ありません。

１．クィーンズタウンは、風光明媚なことでNZ国内並びに世界中で有名な場所なので、景色が綺麗な場所を中心に１日レンタカーを使って回るのがいいと思います。
レンタカーがあればグレーノーキー、カワラウ渓谷、リマーカブルス山脈等ワイドに１周するのがお勧めです。
その中でcredorさんのお好みに応じてちょっとしたウォーキングやワイナリー巡り等を盛り込んでアレンジするのがいいかと思います。

２．ガイドに関しては可能です。
私がガイドする場合は、例えばもしワイナリー巡りをするようであれば私が運転を替わって差し上げることも可能です。お好みに応じて、充実した一日をご提供できると思います。

３．クライストチャーチからスタートしてテカポ、マウントクック、クイーンズタウン、ミルフォードサウンド（クィーンズタウンから）、もしくは逆ルートがお勧めです。

４．そんな事はないと思います。
レンタカーで移動であればタイミングなどがより自由になるので行程的には効率が上がると思います。例えば上記３の行程に加えての西海岸の氷河エリア又はダニーデン方面まで足を運ぶことも可能でしょう。
レンタカーで移動の場合の移動時間・距離の目安には、この地図が良い参考になると思います。
https://www.newzealand.com/jp/utilities/request-a-map/
ご参考にされてください。

この度は閲覧が遅くなりお役に立てず申し訳ございませんでした。
マウントクックを楽しまれたことを祈っております。