まず台湾のタクシーはデザインが同じ黄色のため（車種は異なります）どれが「台湾大車隊」なのか、見分けをつけたことがありません。悠遊カードを利用する意図が理解できておりませんが、実際に乗車すると一定数悠遊カードの機械を設置したタクシーはありますが、私の経験上では同乗者でも悠遊カードをタクシー料金支払いに利用している人間を見たことはありません。現金を使用したく無い意図であれば、タクシーアプリで「Line Taxi」「Uber」などカード登録しておけば、タクシーを呼ぶ/支払いはカードで決済できるアプリがありますので、そちらを利用するのが一般的だと思います。

深夜のタクシーですと　1300～1500元 時間は 40分程度です。
他には、台北駅から 空港行の直通バスが 24時間（確か夜間は 30分間隔）で出ています。料金は150元前後だったかと思います。

他には桃園空港は24時間なので、MRTの最終位で空港に行き、5-6時間空港で過ごす。（フードコート、コンビニ程度は空いていたと思います）