大英国博物館から電車で30-40分のエリアに私は住んでいます。
以下、お役に立てば幸いです。

エアコンなしの施設や家がほとんどです。扇風機も置いている家は少ないです。
私の住む家(フラットシェア)も無いです。

1. 夜眠れるか心配
→はい、私も寝つきが悪かったです。
なので、現地のスーパーでアイスパックを買って首や足にくっつけて寝る、
クールブランケット（Tescoという現地御用達のスーパーに置いています）を持っていくことをおすすめします。
夕方６時以降は25度ほどに落ち着きますが、朝9時から太陽が上がってくると、日陰以外はジリジリ暑くなります。ただし、木影はだいぶ涼しいので、近くの公園やカフェで休憩することをおすすめします。

今年は英国も例外的に猛暑だそうです。一緒に住んでいる現地の人も驚いており、窓やドアは開けっぱなしにして風通しを良くしています。
幸いなことに、日本(東京)のように湿気は無く、風はあります。
また、水も冷たいので（私の出身の沖縄は、水道水まで熱くなっていて大変でした・・）部屋に帰ったら何度かシャワーを浴びることをおすすめします。

2. 小さなハンディファンで効果あるのか？
→電車内(特にUnderground, 地下鉄)やバスでは多少効果があるかもしれません。現地の人も持ち歩いているのを見かけます。公共の乗り物も、基本的にエアコンは効いておらず、とにかく水分を取ったり自分で工夫するしか無い印象です。タクシーを使う予定であっても同様です。

現地情報
2022年8月15日現在の現地の気温
28°C°
Precipitation（雨予報）: 11%
Humidity（湿度）: 36%

1週間の予報（最低気温は朝6時ごろから夜9時ごろと捉えて下さい）
8/16 最高気温 26°C 最低 17°C
8/17 最高気温 25°C 最低 16°C
8/18 最高気温 23°C 最低 17°C
8/19 最高気温 25°C 最低 13°C
8/20 最高気温 26°C 最低 13°C

8月初旬の猛暑（40°Cのピークは過ぎたので、多少は過ごしやすくなっています）。

追加で知りたいことがあればいつでもご相談ください。

現地の友人とパプへ行くので行くので回答させて頂きます。
参考までに、値段も記載しておきます（セントラルロンドンのパブの平均です）。

1. グラスサイズで何かあるのでしょうか？
はい。以下、目安です。
1 pint = 568 ml (£5-6)
アメリカでは 473 ml となります。 大体、500 ml の缶ビール 1 本分と思えばわかりやすいと思います。
2/3 pint = 350 ml (£4.5-5)
Half = 200 (£3.5- 4.5)

いつも日本でグラスジョッキを飲む方は1pintで良いと思います。
現地の人も1 pintを大体頼んでいます。
また、昼から外のパブで飲んでいても全く違和感なくみなさん楽しそうです。
日本のように「昼から飲んで。。。」といった感覚はないので、楽しめると私は感じています。

追加で知りたいことがあれば、ご相談ください。

レストランの入り口で預けられるのか？
→カウンターやお店の人にお願いすると預かってくれると思います。ただ、基本的に荷物は自分の目の届くところに置いておくことをおすすめします。日本では無いかもしれませんが、何かしら盗まれる危険があるからです。特にスーツケースとなると、観光客だと判断されてそのリスクも高いです。

おすすめのレストラン（イチオシが一つしかなくてすみません・・。）

「Sketch」
https://sketch.london/
ピンクなど、色鮮やかなライトニングをした店内です。
たまに音楽ライブも開催されています。
インスタグラムでもライブを見ることができるので、ぜひ雰囲気を見てみて下さい:)

また、私もコッツウォルズへ行ったことがありますが、
小さなvillegeのようで、ロンドンとはまた雰囲気が変わってとても情緒的なところです。
城跡や美術館も駅近くにあるので、足を運んでみると楽しめます。

何かご不明点等あれば、いつでもご相談ください。
素敵な旅になりますように。

私は2019年からロンドンのActonという地域に住んでいます。
私も古本が好きなので、本屋を探したりしているので、役に立てば幸いです。

東京で言う所の神田・神保町の様な古本屋が纏まったエリア
→本屋が集中しているエリアは私の知る限りなかったです。
ただ、ビンテージショップが並ぶエリアでは、ショップで本も置いているのでそれらを利用することをお勧めします。

1.Portobelloroad martket
https://www.portobelloroad.co.uk/
カフェや古着屋が多く連なります。
Oxfarmというドネーションショップに古本が置いてあります。
https://www.oxfam.org.uk/oxfam-in-action/oxfam-blog/our-top-ten-tips-for-second-hand-book-shopping/

2. Shoreditch book shop
https://bricklanebookshop.org/
前述と同じく、ビンテージマーケットがあるエリアです。
本だけではなく古着も楽しめます。

また、古本に限らなければ、こちらをのぞいてみるのも良いかと思います。
https://www.timeout.com/london/books/londons-best-bookshops

参考になれば幸いです。
良い旅になりますように。

こちら、私の知る範囲で回答させていただきますので、
参考になりますと幸いです。

前提として、フリーランスVISAがUKには無いと把握しています。
https://immigrationlawyers-london.com/blog/self-employment-for-migrants.php

①フリーランスビザは日本で取れますでしょうか？
日本にいても取れるVISAはいくつかあります。ご自身の経歴などによって選ぶと良いかと思います。
https://www.gov.uk/browse/visas-immigration/work-visas

Investor, business development and talent visas
の欄がフリーランスに近いのではと感じますがいかがでしょうか。

VISAの有効期限もそれぞれ異なりますので、ご自身の希望に沿ったVISAで条件をクリアするならば申請することができると思います。

②日本で取れない場合に現地に観光で入国しフリーランスビザの申請をすれば良いのでしょうか？
観光で入国した場合も、クライアントがUK企業の場合、先方からUKで働く資格を持っているか
問われることが多いので、事前に上記のVISAを持っていることが良いかと思います。
日本をクライアントとする場合は、短期間であれば観光VISAとしてUKにいながら仕事をしても問題ないかと思います。

③そもそも就労ビザを持っている上で申請可能となるのでしょうか。
就労VISAは、UKで認められた基準（UKでの修士課程を修了した場合は2年、phdの場合は3年）であれば就労VISAを申請できます。私の場合はこちらで修士課程を修了したので、2年の就労VISAを持っています。

わずかながらで恐縮ですが、
お役に立てると幸いです。