ドーハ乗り継ぎ待ち時間での観光

18時到着とのことで、実際に動けるのは19時からと考えても、治安に関しては全く問題ありません。
アラブな雰囲気を感じるならSouq Waqif（スーク・ワーギフ）ですね。これなら所要時間15分もあればスークに着きます。

Souq Waqif
https://goo.gl/maps/Kh3WUZdinJ5q1gJK8

空港からのタクシーは到着ロビーを出てすぐ左側へ向かって歩いた先になります。
ただ初乗り25リヤルなので勿体無い。
おすすめは空港からメトロ（地下鉄）利用です。片道2リヤルで行けますよ。

スークではレストラン以外のお店でカードはほぼ使えないのがネックですかね。

もう一つスークのすぐ近くにある国立博物館は残念ながら19時で閉館します。

ちなみにロビーに出たところで声をかけてくる人は無視してください。白タクなのでリスクが高く、警察に見つかると乗客も罰せられる可能性があります。

（追記）

スークは（というかドーハという街自体が）夜に入ってからが賑わいます。
お土産探しも楽しいですが、是非ファルコンスークに足を運んでみてください。

22時頃ならお店もちょうど閉まる頃合いですね（レストランなどは0時頃までやっているところが多いです）
2時間もあれば十分かなと思います。予算＄100で問題ないです。
地下鉄のカード（Suicaと同じようなもの）はクレカで買えたはずです。
どうしても不安でしたら、空港内のATMでキャッシングという手もありますよ。