昨年5月にイギリスの大学を卒業した者です。
1. リーズ大について
学費はUndergraduateのコース一覧から、勉強したい学科を選ぶと見ることができます。経営学志望とのことでしたのでBusiness Managementでみてみましたが、海外学生だと1年間で£21,000するようです。他の学科だと£19,000のところもあるので、ご自身で見てみてくださいね。
https://courses.leeds.ac.uk/i475/business-management-ba
ちなみにこの学費はかなり高い部類だと思います。

2. リーズとロンドンについて
リーズ⇔ロンドン間は電車で2-3時間程で、利用する鉄道会社によって違ってきます。向こうには新幹線程早い電車は無いです。例えるなら名古屋大阪間を近鉄で行くぐらいの感じです(これで伝わるか分かりませんが、、、)。
電車について調べる際はTrainlineというサイト/アプリがわかりやすいです。

3. 物価について
リーズには住んだことがないので家賃についてはお答え致しかねます、すみません。どの大学にも寮があるかと思いますので、そちらを利用されるのもいいと思います。普通の賃貸よりは高くなりがちですが。
向こうはワンルーム(studio flat)よりフラット形態のものが多いです。ただ、ロンドンではないのでワンルームタイプでも月£400出せばあるんじゃないかな…と。Rightmoveというサイトで見てみると相場がわかると思います。

食費的にはロンドンでもリーズでもそこまで変わらないと思います。レストランで外食となると£10〜のところが多いです。テイクアウトのお寿司(10貫)で£8ぐらい。
自炊であれば、パスタ類は30ペンス/500gぐらいで買えたはずです。野菜、チーズもそこそこ安いです。肉類魚類は日本より高いと感じました。

現地のバンドに興味があればですが、若手が£10ぐらい、中堅£20-30ぐらいで観ることができますよ。リーズはどのバンドのツアーでもほとんど訪れる都市です。

参考になれば幸いです。

バーミンガム空港駅から市内最大の駅 New Street Stationまでは、乗る電車のオペレーターにもよりますが10〜15分程度で着けます。
ロンドンまで出て直行便に乗る価値があるのか、というのは質問者さんの行程や好みによりますね。私は実家が名古屋なのでどっちみち直行便がないこと、また航空券も安めなので、いつもバーミンガムからドイツの都市経由の便を使っています。フランクフルト空港で乗り換えのことが多いと思いますが、それが苦でないのならバーミンガムから飛ぶのは全然ありだと思います。