こんにちは。
会社がペスト側でしたら、私はペストに住むのをお勧めします。朝のラッシュ時、帰宅ラッシュ時はやはり道路が混んでいます。私は運転できないのですが、ブダ側に渡る橋がよく渋滞しているのを目撃します。友人の話では、街の中心にある鎖橋、マルギット橋は混んでいるそうなので少し遠回りでも他の橋を使っているそうです。
ペスト側でしたら、Corvin negyed周辺、Rákóczi tér周辺などはいかがでしょうか？トラム4-6沿線は交通の便がよく個人的におすすめです！お車をお持ちでしたら、駐車場が併設された新築アパートがいいと思います。古いアパートは駐車場がなく路上駐車となる場合が多いです。
お役に立てれば幸いです。

私自身7区に住んでいますが、治安は6区と変わらないように思います。
気をつけた方がいいのは、
•keleti駅周辺(ホームレスが多いです)
•király, Kazinczy 通り周辺(居酒屋などが多く、夜はうるさいかもしれません)
防犯カメラ付きのアパートでしたら、7区でもそこまで不安になる必要はないかなと思います。
あと私の友人二人(5区のDeák Ferenc ter 周辺に住んでいました)が、玄関の鍵を壊され空き巣に入られたことがあるのでお気をつけください。

24日25日も開催されていると思いますが、24日は閉まるのが早かったと思うので午前中に行くことをお勧めします。

ユニバーシティから便利な場所ですと、Oktogon駅近くのSPAR,最寄り駅からトラム3に乗り4駅のSPAR(Budapest, Nagy Lajos király útja 191, 1149)で買い物する生徒が多かったように思います。
日本のようなお惣菜や、クオリティの高い冷凍食品をハンガリーのスーパーで見つけるのは難しいですが、アジアンショップにいけば餃子など日本の冷凍食品も手に入ります。
韓国系アジア食材店、K-martがおすすめです。