こんにちは、お誕生会なんですね‼サプライズを用意してくれる素敵なお友だちがいて羨ましいです(^^)
さて、ご質問に対する回答ですが、正直、韓国のケーキはあまり美味しくはないです。早く言えば見た目重視です。
ただ、弘大(홍대입구)に日本で修行されたパティシエがいて、そこは本当に美味しかったです。
しかし、江南付近でしたらケーキを運ぶには少し遠いですね(-_-;)
なので、比較的失敗のない百貨店の地下で購入することをおすすめします。
又、サプライズを承諾してくれるお店についてですが、韓国料理店でするのであれば、サプライズはできないことが多いです。
なぜならば、"面倒"だからです。
もししたいなら、ケーキ持ち込んで勝手にどうぞのスタンスです。
なので、サプライズをお店にお願いしたいのであれば、お洒落なイタリアンやフレンチ、barなどでお考えの方がよろしいかと思います。

南大門、東大門は、たしかに問屋がたくさんあります。
ビルの中には何十何百というすごい数のお店がひしめき合っています。
又、入れ替わりも激しく、そんなビルが何棟も連なっているので、直接店舗を回られた方がよいと思われます。
が、どちらも観光客へ少し金額を高めに設定してるようです。
此方に住んでる人達はあまり行きませんね(涙)
高速ターミナル駅(고속 터미널3.7.9番線)までいった方が安くて可愛いスマホケース、服など、問屋で売られているものと大差ないものが購入できます。