初めまして。高校生の息子さんの留学、さぞご心配でしょう。クライストチャーチ在住歴は決して長くはありませんが、ようやく慣れた者(24才男です)として非力ながら回答させていただきます。
一般的なスーパーで売っている物は、基本的に現地の人の口に合うように作られています。テリヤキ味と書いてあっても、日本の味付けとはやはり違います。その中から好みの味を探し出すには、その分失敗も多いかもしれません。間違いないとすれば、フルーツとヨーグルトくらいでしょうか。キウイフルーツは本当に美味しいです。
また、書かれている中で家にオーブンしかないというのは少し不可解に感じました。NZでは大きな家が多く、収納も多いようです。棚の中にしまってあるのではないでしょうか？ガスレンジは一般的ではなく、IHでもない、日本では見ない様式です。調理をしてみたい旨と合わせてホストファミリーの方に再度伺ってみることをお勧めします。
日々何を食べるかですが、クライストチャーチでは比較的簡単にアジアンスーパー(KosucoやSanson)を見つけることができます。韓国系や台湾系のスーパーですが、日本製品•日本食も結構な品揃えです。レトルトのパスタソースやカレーなど、馴染みの味もすぐに見つけることができます。とは言え、一般的な家庭に炊飯器は無く、あったとしても日本の炊き上がりとは大きく違います。この点に関しては、育ち盛りの男子高校生には辛いかと思いますが、郷に入っては、、と割り切る必要もあります。(サトウのご飯のようなパックもあるようですが電子レンジが必要です。)
個人的な意見ですが、主食(パン、パスタ、じゃがいもが殆どです)はそのままに、味付けを自分好みにするのが一番ストレスが少ないように思います。ホストマザーの料理に、キューピーのマヨネーズやカゴメのケチャップなど馴染みの調味料を付けるだけでも随分違うはずです。
オーブンで焼いたじゃがいもにレトルトのカレーとチーズといった組み合わせも、邪道に思われるかもしれませんが美味しいですよ。
西洋文化なので、食事が口に合わないことをきちんと口頭で説明さえすれば、ホストファミリーは理解してくれるはずです。はっきり口にするのが難しいようであれば、懐かしい味を見つけた、この味が特に好きなんだ等の理由を伝えて、日本の味を一緒に楽しむのも良いかと思います。どれほど味の好みに違いがあるか、理解してくれるかもしれません。
私は大学卒業後に初めての海外を経験している最中で、もっと早くに来ることができればと感じていますす。このカルチャーショックを高校生にして体験できる息子さんが本当に羨ましいです。よい留学になるといいですね！

yoineko247さん
コロナ禍以前の2017年に1年程、ワーキングホリデービザを活用してNZで暮らした者です。
当時の情報や、現地在住の知人からの情報を元に、わかる範囲でお答えさせていただきます。

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まず、在ニュージーランド日本国大使館ホームページによると、NZへの永住権を持っている場合など、入国が認められるケースはごく僅かとのことです。入国できた場合も14日間の強制隔離は必須（実費で約30万円）とあります。

一方、オーストラリアとの間では往来の制限は取り払われ、隔離も不要となっています。日常はコロナ禍以前の状態にほぼ戻っているとのことです。

来年、日本からの渡航に関してはその時点で日本国内の感染が完全終息しているかによると思われます。

2
部屋を借りることは可能かと思われます。
日本に比べてNZは賃貸の敷居が低く、Trade Meというサイトでも入居者の募集がされています。（NZ版のメルカリ、フリマサイトとお考えください）英語サイトとはなりますが覗いてみてはいかがでしょうか。価格の参考になると思います。車、家、クルーザー、なんでも売り買いされています。
また、シェアハウス（フラットと呼ばれます）も盛んです。抵抗が無ければ、選択肢に入れてみてはいかがでしょうか。滞在費用を抑えながら色々な人と交流の機会が持てます。flatmate wanted といった文言で募集されています。

3
次に、ニュージーランドへの長期滞在と就労についてですが、3ヶ月以上の滞在にはビザが必要です。観光ビザ取得で最大9ヶ月まで滞在可能ですが、働くことはできません。働くには就労ビザが必要で、働く会社から紹介してもらう必要があったと記憶しており、ハードルは高めです。私の活用したワーキングホリデービザという方法もありますが、年齢などに制限があります。（31歳の誕生日までに申請、等）取得できるのであれば、お勧めです。学校に通う必要がありますが、学生ビザでも週20時間程度働けたようには思います。以上がビザと就労についてです。

長々と失礼いたしました。
少しでも参考になれば幸いです。