１） イギリス国内の移動は私は車でするので、バスとか電車はよく分からなくてすみません。ヒースローからチェルトナムスまでバスで、２時間半でいけるそうですね。でも長いフライトでいきなりロンドンからチェルトナムスまで移動はその日はかなりきついと思います。ロンドンに数泊して元気になってから、移動したほうがよいのではと思います。慣れない土地だと３泊ぐらいなら同じ宿のほうが気分的に落ち着くのではと。でもホテル好きな方は毎日宿を変えます。個人の旅のスタイルでどうするか決めてみてはいかがですか。
チェルトナムスはけっこう栄えた町で、はちみつ色の壁の家が集まるコッツウォルズの村ではなかったような。私は車でチェルトナムスは素通りしました。http://www.bourtoninfo.com/　
Bourton-on the-Waterに私は泊まって、バイブリー・トラウト・ファームやカッスルクームに観光に行きました。
ローカルバスでどうやっていくのか分かりかねます。すみません。移動が車が主なので。
母がイギリスに遊びに来た時はツアーで、コッツウォルズ観光しました。
ロンドンで、日系のトラベルエージェントが日帰りツアーやっていたような気がします。効率よく村々を回りたいのでしたら、ツアーだと思います。でもコッツウォルズは、泊まりたいですよね。カワイイ村が沢山あって、夏はきれいなとこです。

２）コッツウォルズは、私が行ったときは車で移動しました。ローカルバスもあるかと思いますが、よく知りません。村につけば徒歩で見て回るところはありますが、村から村への移動が車かバスになります。Bourton-on the-Waterはけっこうみるところがあります。お土産物屋さん、カフェー、パブもあるので泊まるにはいいかと。
３）ロンドンへの移動ですが、バスのほうが無難だと思います。車の方が便利ですが、イギリスにはラウンド　アバウトをいう円状の交差点があって、日本にはない種類の交差点です。けっこうそのラウンドアバウトの運転が難しくて、駐在員の奥様など、特別に路上講習を自動車学校で習ってから子供の学校の送り迎え始める方も多くいます。事故怖いですし、イギリスのレンタカーの値段が高くて１日１００ポンド＋ガソリン代です。けっこうな値段ですよね。
私でも、大きな交差点でイギリスの道路だとやっぱり怖いですね。
４）ロンドンでミュージカルというとソーホーなんですが、ピカデリーとソーホーの雰囲気が東京でいうと渋谷や新宿の繁華街です。泊まると周辺が落ち着きがないと思います。カムデンマーケットが若い人には雑貨やファッションなどで人気ですか、英国博物館やテートに行くのでしたらソーホーはちょっと交通の便が悪いかもしれません。ケンジントンチェルシー辺りはセレブでホテルの値段も高いです。雰囲気はいいです。
私がよく宿をとるのがベイズ・ウォーター駅周辺です。パディングトンなど、その辺りです。ロンドンの中央です。ハイドパークで散歩できますし。夜は落ち着いてます。地下鉄の一日乗車券を買えばギャラリー、博物館、雑貨屋まわりには困らないと思います。

キングクロス駅は、電車のアクセスはいいのですが、夜、治安が悪くて、売りの女の人がうろうろしているので、私はキングクロス駅周辺にはホテル取りません。ヴィクトリアも交通の便がいいし、バスも出ているのでいいんですが、治安も面がお薦めできません。
私は車でイギリス移動することが多いので、公共の機関でイーストボーンに行きかた分からないので、申し訳ないです。　ぐぐってみたらビクトリア駅から電車で２時間ぐらいで行けるみたいですね。どこか治安のいい地域に泊まって、ビクトリア駅までタクシーで行かれてはいかがでしょうか。お友達と割り勘すればロンドン中央地区内のタクシー運賃はそんなにかからないはずです。タクシーはロンドンの黒いロンドンタクシーに乗ってください。白タクは危険です。ヒースローからイーストボーン行きのバス出てますが、３時間以上ももかかるみたいなのでお薦めできません。ちょこちょこ町に停車するので、そんなに時間がかかるのだと思います。
あんまり参考にならないかもしれませんが、私の知っている範囲で回答しました。
イギリス楽しんでください。ロンドンと地方がすごく違うので、私は個人的にはイギリスの田舎が好きです。
桐野より

大きなスーパーに両替機があるので、商品券に両替できますが。

お札にでしたら銀行でお札に替えるしかないですね。手数料はわかりません。

この時期寒いので、大陸なら気候のいいときが体力的にお薦めです。
クリスマスの雰囲気をとにかく楽しみたいなら周遊に行きますが。

クリスマス後はイギリスはセールで賑わっています。お買い物中心ならイギリスですね。でもイギリスは夏の方がいいですよ。

個人の好みの問題ですが。

はとバスツアーみたいのがロンドンにあれば定番観光スポットを1日で回るの可能です。地下鉄だと移動に時間がかかるのと土地勘がないので不安ですよね。この時期、天候も悪いですし。ロンドンの日系旅行代理店のサイトで見つけてみては。
パブはできればだれかと行った方がいいんですが。1人でお酒飲んでいる人あまり見かけないので。アフターヌーンティーも一人だと寂しいかもしれませんね。
1月寒いので防寒はしっかりしていたほうが無難です。