タイ在住のヒロハタです。タイ国外に滞在のためアドバイスが遅れました。すでに複数の方からの回答があると思いますが、私からもアドバイスさせてください。各都市１-２日の滞在は高齢の方にはきついかもしれません。まして、平均気温32-3度のタイでの移動は大変でしょう。バンコックには大きなお寺が多いですが、大都会なので移動時間がかかります。チェンマイは地方都市でのんびりしているので、移動が楽です。短期の訪タイならどちらか一都市にした方がいいのではと思います。

早朝タイの空港に到着との事ですが、町中の朝食はホテルか屋台となりますが、ホテルは高いし屋台は特定の場所での営業となるので、朝食は空港内のレストラン（３階）で済ませた方が効率がいいと思います。３階にはエレベーターのみでしか行けませんから注意してください。後は空港乗り入れの電車、エアーポートリンク（15-20分間隔）でバンコクに行き、例えばリンク最終駅、パタタイで高架線のスカイトレインに乗換えて、パラゴンやディスカバリー等のショッピングセンターがあるサイアム駅で下車。または、ナショナルスタジアム駅にあるタイ風の代表ショッピングセンター、ＭＢＫへの立ち寄り。ここの入り口には日本の東急デパートがテナント入りなので、店内を素通りすると携帯やタブレットの電子街、ファションやグッズのコピー品、お土産物、顔から体までの各マッサージ店などが集結した一大ショッピングエリアが続きます。

スワンナプーン空港でも、早朝時に開いて両替店はないと記憶してます。従業員が出社する時間（９時前後）まで待つことにあると思います。但し、空港内の両替は平均値なので、最低必要額のみ両替して、プーケットについてから町の両替店での交換が良いと思います。プーケット空港にもタクシーはありますが値段交渉です。一度ホテルに送迎車の有無と料金を調べ高いと思ったら空港の待合タクシーと交渉はどうでしょうか。但し、交渉は面倒ですし、高くつく場合もあります。

ジョムティエンビーチに一番近いバスは、スワンナプーム空港から出発するジョムティエン行きです。パタヤ市内に入ると北、中央、南パタヤの順に停車後、終着駅のジョムティエンに到着。そこからは、ソウテウに乗換えて3-4分も乗ればビーチが見えてきます。尚、バスは毎時発ですので、早めに空港に行き乗車券を購入する事を勧めます。帰りは、最終バスが夜９時でが、こちらも念のため乗車券の事前購入（ジョムティエンにて）が安心だと思います。