私が知っているところでは、Bannatyneと言うgym(スポーツクラブ)が、年契約以外にも月契約で入会できます。
www.bannatyne.co.uk
または、市営のスポーツクラブは使用するたびの支払いです。ただ市営となると、プールの水が冷たかったり、衛生上あまり綺麗ではなかったりしますが。

あとは、SPAで検索すれば滞在地近辺やちょっと遠出しながらと言った感じで見つかると思います。

バーミンガム空港からバーミンガム中心部までは電車で30分もかからないと思います。空港から最寄りの駅までモノレールに乗ってBirmingham international stationに行き、そこから中心部のBirmingham new street station まで乗り換えなしで行けますよ。
アプリのマップでBirmingham airport からBirmingham new street stationで調べてみると細かく書いてありますよ。