ハマースミス駅から地下鉄Hammersmith & City 線か Circle 線で乗り換えなし１５分位です。Circle線は山の手線のように内回り、外回りがあるので、乗りなれてないなら、Hammersmith線を使うといいと思います。

場所にはよりますが、地下鉄の駅構内でも、距離は結構あるので30分前につくように計画をしたほうがいいです。券の発券も当日するなら.一時間前くらいに行くぐらいの気持ちがあったほうがいいです。列車のいる番宣が10分前くらいにならないとわからず、一気に移動となりますので、余裕を持っていたほうがいいです。なおわこの4月から駅のトイレが皆無料になったと聞きました。

①については予算とどれだけの広さまで我慢できるかだと思います。中心部に近ければ近いほど高いし狭いです。ただ、ロンドンですのでハズレと思うホテルはないと思います。
②移動手段に何を使うかですが、Whitby をおすすめします。この街から出ている保存鉄道に乗ってハリーポッターのホグズミード駅のロケされた駅にも行けます。ドラキュラの小説をかくもとになった教会とか、キャプテンクックのいた街なので楽しめるとおもいます。あとハリーポッターの撮影のあったアニック城も素敵です。

バスは本数が少ないと聞いています。私は車で行きました。バスを待っているイギリス人家族を乗せて移動したくらいです。イギリスは日本と同じ左側通行ですから、あまり違和感なく乗れるはずです。自分のペースで効率よく回れますから、お薦めです。ただしカーナビを借りるか、携帯のカーナビを使う事を忘れないように。グーグルマップはとても便利でした。

どんなストローラーでも大丈夫ですよ。基本的に優しい人々です。地下鉄などエレベータのないところでは、近くの人が手伝って運んでくれます。さりげなく当たり前のように困っている人に手を貸してくれる町です。ベビーカーはよく見かけましたので。個人的には軽量がいいと思いますが、中量でとなんとかなるんじゃないでしょうか。

学校長が許可すれば見学可能です。ただし、個人的に知り合いの学校でない場合は、無犯罪証明書がないと（日本の警察でもらえます）学校内に入れてもらえないと思います。子供に関わる校内の職員も皆必要とされています。

交通手段を何にするかです。
自分で車を借りるなら、Isle of WightでNeedles やOsbone House が一番のお薦めです。弐番目は Conwy Castle と Pontcysyllte Aqueduct でNarrow boat に乗ってきました。
5時間かけていけば西の果てCornwall まで行けるので St Michael's Mount や Lands End, Tintangel Castle がお薦めです。ただこの場合は1泊する必要があります。
日本人が行かないところでは Redsand Fort は、面白かったです。また、バラがお好きでしたらDavid Austin Roses もお薦めです。英国のお庭やマナーハウスが好きなら Wrest Park, Audley End House and Gardens, Sissinghurst Castle Garden や Blenheim Palaceなどたくさんありますよ。
あと、私のお薦めはプーカントリーです。車を止めてハイキングも楽しいです。プーの Sticks Bridgeで棒を川に投げて遊んでください。近くに蒸気機関車に乗れるところもありますから、帰りにセットでどうぞ。
街としてはWinchester や Guildford は車でないと行かれないので車を借りるならぜひ行ってみてください。日本人率も低いので楽しめると思います。Winchester はJane Austin, Guildford は不思議の国のアリスで有名です。

ツアーで行くなら「みゅう」で連れて行ってくれるところはどこもお手軽で外れがありません。

まだまだ、すてきなところはあるので、どんなところに行ってみたいのか、どんなご趣味があるのかががわかればそれなりにアドバイスできます。

日本に戻ってきてしまっているのでガイドできませんが、だいたいのことはお答えできると思います。どこへいつ頃行く予定ですか？

3年前に、いとこの娘がハマースミスに住んでいましたが、夜は危ないと言って、遅くなるときはいつも駅からUberで、帰ってきていたのを思い出しました。バスもあまり雰囲気が良くないと言ってました。ちなみに彼女はワーホリです。