はじめまして。ラグビー観に行かれるのでしょうか。日本代表素晴らしい活躍でした。
空港からスタジアムまではバスでもタクシーでもアクセスできます。
簡単なのはタクシーですが、経済的に行かれるのでしたら路線バスです。
下記のURLをご参照ください。
http://www.rome2rio.com/s/London-Heathrow-Airport-LHR/Twickenham-Stadium
左側の「Bus, line 281 bus, walk」をクリックしてください。
空港のCentral Bus Stationにて路線111に乗り、Houslow Bus Stationまで行きます。その後、路線281に乗り換えて、Twickenham, Rugby Road Whitton Roadで降りましたらスタジアムは目の前です。サイトのとおりですと、空港からスタジアムまで所要時間50分、運賃は￡4（各路線￡2）です。バスは通常先払いです。もしロンドンにも行かれるのでしたらSuicaのようなプリペイドカード、Oysterを空港で購入しておくと便利です。地下鉄・バスに利用出来ます。地下鉄は現金払いより安くなりますし、帰国時は残金を返金してくれます。

ギリギリですが…。2日朝は私も仕事先からヒースローに到着しましす。8時頃だと思います。
半日観光は無理かもしませんが、レンタカーのお手伝いくらいでしたら出来るかもしれません。

はじめまして。自分なりのアドバイスですので引き算してお読みください。笑
①LHRからだとチェルトナム（Cheltham）、グロースター(Gloucester）、バース（Bath）にNational Expressのバス（Coach）が出ています。空港内のCentral Bus Stationです。
本数が少ないので到着時刻によってはその日の便がない可能性がありますので要確認です。
ロンドンまで一旦出れば各方面へのバスはたくさんあると思います。
宿泊についてはどちらも一長一短だと思います。レンタカーでなく重い荷物を持っての移動でしたら１か所に滞在するのが良いと思いますが、コッツウォルズは範囲が広いので、違う村で滞在すれば拠点に戻る必要がなく、そういう意味では効率的です。いずれにしましてもホリデーシーズンは予約ですぐに埋まってしまいます。８月下旬～９月初旬もシーズンですので早めの予約をお勧めします。
②徒歩では無理です。電車もないと思います。公共交通機関でしたらバスが一番だと思いますが、そのあたりは詳しくないのですみません。ツアーに参加という手もあります。一番良いのはレンタカーだと思います。日本と同じ左側通行ですし標識も似ています。気を付けるのは速度表示がキロではなくマイルなのと交差点はほとんどラウンドアバウトなので最初は慣れが必要なことです。
③レンタカーでない場合はバスが一番良いと思います。
④ロンドン市内の多くのハイライトは地下鉄（Tube/Underground）、バス、レンタル自転車、徒歩で回れます。比較的安宿が多くて便利なエリアはパディントン（Paddington）、アールズコート（Earls Court）界隈です。イーストボーンへはビクトリア駅（Victoria）から出ているようですので、この辺りで探すのもよいと思います。ビクトリア駅周辺には大きなコーチ（長距離バス）ステーション、バッキンガム宮殿もあります。
⑤ビクトリア駅から電車で1時間半くらいのようです。前述のコーチステーションからはバスで３－４時間程です。バスは夕方と夜の２便しかなさそうです。
以上、少しでもお役に立てば幸いです。楽しい旅になりますように！