一番のお勧めはレンタカーです。
ナビ付きをしていすれば、ほぼ問題なくあちこち行けます。
ドイツのどの都市も東京都内より運転楽です。

電車という手もありますが、地図が必要ですね。
行先が目的地ではないでしょうし。
フランクフルト-ケルンはICE（特急）で２時間くらいです。
フランクフルト-ベルリンも４－５時間だったと思います。
フランクフルトは小さい町で、大した観光地もありませんので目的地のホテル滞在をお勧めします。

>ドイツの日常に触れるのにオススメはありますか？
->はじめまして。
　ご興味の範囲、方向が不明ですが、思いつくまま列挙してみます。
　１.公園:Nidda Park他大小公園が点在しています。この季節、日陰に入ると快適に過ごせます
　 2.Ruedesheim:電車で１時間くらいで行けます。丘の上から見るMain川はおすすめ。大抵の
　　ガイドブックに載ってます。こじんまりした観光地です。
3. Zail:メインス載ってますトリートです。klainemalktという市場もすぐ近くです。ここも大　　抵のガイドブックに載ってます。

*余計なお世話ですが、折角ドイツにいらっしゃるのであれば、ベルリンのほうがお勧めです。
見どころ満載です。フランクフルトは1日で充分かと。
テロは予測できませんし、そんなに緊張してませんよ。