ヒューストンからオースティンまでは車で２時間半です。テキサスは車社会なので通常レンタカーを借りて移動する方が多いですが、ヒューストンのダウンラウンからバスも出てます。私は乗ったことはありませんが、リクライニングできて快適なバストリップのようです。例えばメガバスだと、一人＄２０位（片道）で所要時間は約２時間半〜３時間のようです。
https://us.megabus.com/route-guides/austin-to-houston-bus

もし空港から直接行きたいとのことであれば、フライトもあります。
調べによると、ユナイテッド航空で往復＄２５８〜　５５分で着きます。

私自身は利用したことはありませんが、一案はUBERに連絡し、 ５人乗りのUBERを数時間チャーターできるか交渉してみる。
あとトリップアドバイザーによると、下記のようなプライベートツアーのチャーターで＄８９〜（数時間）になってましたのでご参考ください。
https://www.tripadvisor.com/AttractionProductDetail-g56003-d12209572-Private_Houston_Sightseeing_Tour-Houston_Texas.html?

ヒューストンは大都市ながらあまり観光する場所がなく、最大のハイライトとなるのはNASA宇宙センターです。でもNASAはヒューストン市内から車で３０ー４０分と離れていますので、訪れの際は観光ツアーを利用していけばいいかと思います。ですので、滞在はヒューストン市内をお勧めします。ギャラリアと言う最大のショッピングモールの周辺が滞在としては便利かとおもいます。
ご予算が１〜２万円ですと、ホテルチェーンのサービスアパートメントスタイルが広くてお勧めです。

（例）Homewood Suites by Hilton

https://homewoodsuites3.hilton.com/en/hotels/texas/homewood-suites-by-hilton-houston-near-the-galleria-HOUGLHW/index.html
ただし、バスタブがあるかはわかりません。

George R Brown Convention Centerはテキサス州ヒューストンのダウンタウン内にあります。
ジョージブッシュ国際空港からですと、車で約３０分ほどです。