クリスマスはないかもしれませんが、もしかしたらトルコ・イスタンブールが無難かもしれません。
キリスト教の国でも観光地では店やレストランは営業していると思いますが、例えばイギリスの場合、24日の午後から26日まで、おすすめのアクティビティがウォーキングと提案されるくらい、ほとんどの公共機関が停止します。25日にドイツのケルンに行った際には、数少ない営業中のレストランに客が集中して食事が提供されるまで1時間位待った記憶があります。
年明けまでイルミネーションなどは残っていると思うので、クリスマス後のイギリスでも少しはクリスマスの雰囲気を感じることができるかと思います。

私はいつも，https://www.thetrainline.com/ を利用しています．
Anytime Day Single ならその日のどの時間でも乗車できます．アプリをダウンロードしておけば，チケットを発券しなくても，QRコードで乗車できます．駅の券売機で発券することもできます．
このサイトは前日までの購入に手数料が少しかかります．

https://www.southernrailway.com/ でも購入可能です．

コンタクトレス対応のクレジットカードがあれば，切符を購入しなくても改札でカードをかざすことで乗車することもできると思います．

不可能ではないです．たとえば午前中にオックスフォード，午後にコッツウォルズの有名な場所を1〜2箇所訪問するとかなら公共交通機関でもがんばればいけると思います．ただし，田舎で移動手段が限られているので，レンタカーがあるとコッツウォルズは回りやすいと思います．

ロンドンから出ている1日のオックスフォードとコッツウォルズのツアーもたくさんあるのでそちらのほうが効率はいいと思います．

イギリスの冬は，日照時間が非常に短く，クリスマスの頃だと8時ころに明るくなり，3時過ぎには暗くなるので，例えば日中の田園風景を楽しみたいのであれば，行程に注意する必要があります．逆に，薄暗くなった時間にオックスフォードのカレッジなどを訪問すると，ミステリアスな感じがして楽しいかもしれません．

ヒースローからウィンダミアまで4時間以上かかるのでなかなか大変だと思います．ヒースローを出発する時間が遅れた場合，その日のうちにたどり着けない場合もあると思います．

週末の運休のリスクのは解消しないですが，ロンドンの宿泊を避けたければ，ヒースローの近くかその他のロンドン郊外，もしくは途中まで移動して宿泊するのがいい気がします．

飛行機でマンチェスターまで移動するのもありかもしれません．

イミグレーションは自動化が進んでいるのでそんなに時間はかからないと思います．預けた荷物を受け取るのに30分くらいかかる気がするので，空港内の移動を含めて40分~1時間くらい見ておくのが無難かと思います．

鉄道でならGatwick Express か National Rail (Thameslink もしくは Southern) になると思います．
どちらもLondon Victoria まで30分くらいです．http://thetrainline.com/ チケットの確認/購入ができます．Gatwick Express は公式のサイトで買ったほうが少し安いかもしれません．平日の朝だとNational Railの方は通勤客で混んでいるのではないかと思います．

バスでロンドンに行くのは時間かかると思います．

Hammersmithへは，London Victoria から地下鉄のDistrict Line(緑の路線)/Circle Line(黄色の路線)で乗り換えなしでいけます．

地下鉄の Piccadilly Line で移動するのが乗り換え無しで楽だと思います．
12時を過ぎた場合は，バス N9 で移動できると思います．
https://tfl.gov.uk/bus/route/n9/?direction=inbound

以下のリンクから，National Expressが運行するバスの時刻表が調べられると思います．
https://www.nationalexpress.com/en/airports/gatwick?gad_source=1&gad_campaignid=119927782&gbraid=0AAAAAD9GmLVk3Ygkzjmcg17RRYpSP5Pzg&gclsrc=aw.ds&gclid=CjwKCAjwp_LDBhBCEiwAK7FnksTslw_82zK25J5g-i7bynuBsqwXHja-ZFGKgVEJ83lYS46To3gS1xoCmW0QAvD_BwE&gclsrc=aw.ds

ローカルバスもありますが難易度が高いと思います．

以下のリンクに，Victoria Coach Station を利用しているバス会社のリンクがあります．
https://tfl.gov.uk/modes/coaches/coach-companies

National Express https://www.nationalexpress.com/ が行き先が一番多いと思います．

ストライキが予定されている場合，各オペレーターのサイトのトップページに表示されるはずです．

鉄道を利用する場合は，Google Mapなどで路線検索されると良いかと思います．
ロンドンには複数のターミナル駅があるので，行き先に応じて地下鉄等で移動する必要があります．
ちなみに，Victoria Coach Station は Victoria stationの近くにあります．

リンカーンシャーの南にあるケンブリッジ在住です。
条件次第でお手伝いできるかもしれません。
具体的にどの店に行くとか、どの程度購入する予定(私の車プジョー208で足りるか)など、お知らせください。

タクシーが便利です．数人での移動であれば他の移動方法より割安だと思います．
https://www.panthertaxis.co.uk/airport-transfer-guide 1時間半〜2時間くらい

地下鉄 Piccadilly Line で King's Cross St. Pancras まで行き， King's Cross から Cambridgeまで鉄道 (Ely もしくはKings Lynn行き) で移動する方法もあります． 合計で2時間〜2時間半くらい

バスだと，National Express の 728 があります．2時間半〜3時間くらい．