スミソニアン等はウェブで確認してもらうのが確実です。
基本的に1/1の元旦は休みだと思いますが、それ以外は通常営業しています。レストラン等は空いてると思います。
日本ほど年末年始が重要視されていません。クリスマスの方が大事なようですね。
メトロも休みなく運行しています。
お気をつけてお楽しみください。DCはとても良い所です。

DC内のホテル滞在であれば、ターゲットなどは車が必要かと思います、Uberも利用できると思います。レンタカーを利用してというのは、よほどアメリカ都市部での運転に慣れていない限り勧めません。

スーパーは、Trader Joe's とWhole Foodがおすすめ。Whole Foodでは、ピーナッツバターがいいと思います。備えてある機械でピーナッツがその場で出来上がります。瓶も購入できるので、何も持たずにお土産用にできると思います。
量り売りです。Trader Joe'sは品質も良く、金額も安いので地元の人には人気です。どちらもDC内にあります。

Uberでも問題ないと思います。私はタクシーを利用したことがないくらいです。いつもUberを利用しています。これまで怖いと感じるようなことも皆無でした。感じの良いドライバーにあたることの方が多いくらいです。
参考になれば幸いです。
お気をつけて、そして楽しんでください。