こんにちは。
最後にi-siteを利用したのが5年以上前なので無料電話の事は良く分からないのですが、Nzでは市内の固定電話は一定時間だと無料です。なので基本i-siteではその電話が使えるという可能性は。ただ営業終了後にも自由に使えるという事は有り得なかと思います。
深夜12時以降の到着との事ですが、宿泊先は決めた状況で来る予定ですか？もしそれがそこそこのホテルならピックアップ等のサービスをして貰えるか確認してみる事をお勧めしますよ。
一般的には空港から出ているSkyBusを使うか、相乗りタクシー的なShuttle busを利用します。スカイバスの方は深夜帯でも30分置きに運行しています。片道$18、往復$32。シャトルバスは空港に泊まっている事もありますが確実ではないので、要予約になります。前者に比べると詳細の住所で下ろしてくれるのでその分料金割高にはなります。

ホテルのポリシーにもよると思いますが、可能ではあります。
ただ個人的な見解とてしは、日本から即席スープやコンビニおにぎり、おかず系の缶詰やカップ麺等を持ち込みする方をお勧めします。
コチラは残念ながら日本ほど便利ではなく時間が経っても美味しいという感じの物はそんなにありません。しかも日本に比べると値段がかなり高くつきます。
今回ユーザーさんの場合は長時間フライトの深夜到着という事で旅行工程を考えても、夜食ですしムリに現地の食べ物を調達するより食べ慣れた軽食を日本から持ち込みした方が良いと思います。ドライフード系なら検疫も大して引っ掛からないと思いますよ。