こんにちは。
就労ビザ及びFiktionsbescheinigungを保有している前提で書きます。
②番のほうが早いと思いますよ。

外国人局は基本的に管轄に住んでいる住人に対して担当しているので、質問者の転居先の外国人局は転居前のあなたに対して今のところ権限がありません。
そして就労ビザの延長や転職の際に、労働条件に関しては外国人局ではなく、Bundesagentur für Arbeit（以下BA）が審査します。外国人局は、BAからの返答によって就労許可を与えます。労働条件の審査の際には、Erklärung zum Beschäftigungsverhältnis（以下EzB）という書類に雇用主が労働状況を記入して、申請者（労働者）が外国人局に提出し、外国人局がそれをBAに送り、返答を待ちます。基本的にはEzBを提出しますが、外国人局の従業員によっては労働契約書で済ませる人もいますが、BAの担当者によっては労働契約書を受け付けない人もいるので、そのことを考えたらはじめからEzBを提出したほうが良いと思います。

転居後に関してですが、もちろん転居先の外国人局が担当します。しかし質問者に関する書類は転居前の外国人局が持っているため、多く場合その書類が届くまで対応できないことが多いです。私は質問者の担当する外国人局を知らないので正確には言えませんが、もし転居前の外国人局がまだ紙媒体で書類を保存しているなら、その外国人局はその紙媒体の書類を転居後の外国人局に送る必要があります。これには速くて数日、最悪の場合は何ヶ月かかります。

また質問者の場合に問題となるのが、就労期間です。現在の外国人局は転職前の労働条件及び期間で就労ビザを発行します。仮に新しい就労ビザが3年有効な場合、転職先の就労許可が1年しかもらえないという状況が発生したとすると、外国人局は就労ビザをもう一度発行する必要があります。
上の方で書きましたが、労働条件を審査するのはBAなため、BAが就労を1年しか許可しない場合には外国人局は1年しか就労ビザを与えられません。
すでに転職前の雇用状況に関してビザ（プラスチックのカード）が外国人局に届いていると思いますが、外国人局はZusatzblatt（会社名及び就労場所等が記載されている緑の紙）の内容は変更できますが、すでに届いたビザに記載されている数字は変更できないので、就労ビザの有効期間を変更する必要がある場合には、もう一度カードを注文する必要があります。
Expressbestellungの場合、35ユーロかかりますが1週間でカードが届きます。

質問者の場合は転職するということなので労働条件を転居に関わらずBAに審査してもらう必要が基本にあります。
外国人局がEzBをBAに送ったあと、基本的には2週間以内に返答が来ます。ここで問題なのが、外国人局がEzBをBAに転送後2週間であり、質問者が外国人局にEzBを提出したあとからではないことと、"基本的"に2週間ですが、場合によってはもっと掛かる可能性もあります。

以上のことを考慮すると②番ほうが良いと思います。

今まで書いたことはあくまで私の考えであり、100%ということではありません。あくまで個人の感想です。

私は質問者の就労ビザが何条で与えられているか、すでに何年働いているのか、転居までにあとどの程度時間があるかなどを知らないですし、外国人局は就労形態や就労期間によってはBAの審査なく就労ビザを与えられる例外も認められているので、正確なことは担当の外国人局に質問するのが１番良いと思います。