はじめまして。
日本食材単独のお店というのは私の知る限りないのではないかと思われます。
Asian marketに日本食まがいの食材が、日本語の表記の元よく売られているのですが、多くが中国製の食材です。
ですので、私はWhole foodsで、日本から輸入された食材がわずかに売られているのでそちらで購入しています。
ご質問の内容にズバリの回答ではないように思いますが、バーミングハム自体に日本人がそれほど住んでいないようですので、仕方ないかなって思います。
少しでも参考になればとおもいます。

ご質問ありがとうございます。
ハンツビルは私の大好きな街で何度か訪れています。
御提示いただいた条件がいくつかある中で、条件には入っていないのですが、やはり一番大切なのは料理がおいしいかどうかかなって思いましたので、高級レストラン、ディナーコースがあって、なんといっても、料理がすごくおいしいここをお勧めいたします。個室があったかどうか、いつもホールで食事をしますので、そこだけが解りかねます。ホールのにぎやかな雰囲気が好きなものですみません。
Connors Steak & Seafood
345 The Bridge St , Huntsville, AL 35806
ショッピングモールの一角にありますので、駐車場には困りません。
ここの料理はすごくおいしいので、ご招待されるお客様もきっと満足されると思います。