はじめまして、月末に仁川空港からチョンノ2街のほうまで行く大型タクシー料金を知りたいとのことですが、出発地がT1,T2のどちらか、経路(通行料)、時間帯、到着地などにより異なるとおもいます。
だいたいで良いとのことなので情報をお伝えさせていただきます。

1 仁川空港マイタクシー

基本料金7000オウン 走行料金200円
深夜[pm10:00~am4:00]20%割増

到着地をチョンロ区庁と仮定した予想料金 59km 約82600ウオン

カカオチャンネルでメッセージで予約可能
(最小前日まで予約、予約完了後、予約時間30分前に連絡があり出発場所で待機)

韓国語が解るかどうか知りませんが一応リンクも記載しておきます。

https://m.blog.naver.com/xxxx3603/223138514973

2 インターナショナルタクシー

空港移動サービスは区間料金制でチョンロ区は
120000ウオンみたいです。
予約時間10分超過で待ち時間料金発生30分単位10000ウオン発生

https://www.intltaxi.co.kr/
(日本語でも見れますし予約(24時間前まで)も可能) 詳しくはサイトで確認してください。
空港のホームページでタクシーの利用案内に入ったら外国人専用のタクシーが紹介されていてンターナショナルタクシーが紹介されていました。

3. テハンジョムボリムジンタクシー

87100ウオン(高速道路通行料が含まれていません。)
予約可能

http://xn--vk1bu41ajrksle.com/home/contents/main/html.php?htmid=proc/page02.htm

だいたい8万ウオン代から120000ウオンくらいみたいです。

予約できれば予約した方が良いと思います。たまに遠回りしたり、わざと、混んでる道に入ったりする運転手さんがいます。(私も経験あり)
予約せずに乗る場合は乗る前にいくらか聞いてメーターなしで85000ウオン~100000ウオンくらいで交渉して乗ったほうが良いかもしれません。(高速道路の通行料も含めて[しっかり確認要])

参考になれば幸いです。

はじまして。仁川に居住中のmaと申します。
お子様連れでの帰国で乗り換えまで大変ですね。
第1ターミナルの３階のKゾーンにエティハド運航のチェックインカウンターはあります。
オンラインチェックインはできると思いますが、座席指定ができるかはよくわかりません。航空会社どうしが提携を結んでいれば、座席指定は必要ないと聞いたことはありますが、はっきりしたことはわかりません。
ボーでイングパスを発行する必要があるなら荷物を預ける必要がなくてもチェックインカウンターでの手続きが必要だと思います。乗り継ぎについては詳しいことがよくわらなくてお役に立てなくて申し訳ございません。