私は南西部在住なので、ミュンヘンやローゼンベルグ周辺はあまり詳しくないですが主に電車旅行をよくするのでその感覚から回答します。

質問１
DBNavigatorで調べると、Munchen HBF から Rothenburg ob der TauberまでICE504-RE90-RE80-RB82が3時間3分、RB80-RE82が3時間16分ですね。旅行の日程によって工事などで結構ダイヤが変わるので、私が8月21日で調べたらICE786-Augsburg Hbf乗り換え-RE80-RB82というのが2時間58分と早かったですが。

価格と乗り換え回数を考えるとRE-RB乗り換え1回ですかね。乗り換え回数少ないほうが体感的に私は楽だと感じます。列車の混雑状況にもよりますが。

また、D-Ticket買われるならD-Ticketの範囲内なのでなおさらRE-RB乗り換え1回ですね。一方で、ICEだと席の予約ができ、大きな荷物専用の棚もあるので場合によっては楽だと思いますが、ICEに乗っている時間が1時間ぐらいならそれも微妙ですかね。

今回はICEからICEに乗り換えるケースはないですが、もしICEからICEへの乗り換えがある場合は、乗り換え時間を20分以上に設定されると若干安心かもしれません。というのもICEにはSaver、SuperSaverという電車指定、事前購入で50%ぐらいFlex(定価、どの電車にも乗れる)より安くなります。その代わり電車指定なので乗り遅れると切符は買い直しです。DBは20分以上の遅延を遅延と認めますので、20分以上の遅延になった場合は遅延で乗り換えができなくても、どの後続のICEにも乗ることができますので。Flexという定価のチケットだと気にする必要はありませんが。

D-Ticketについて、主にドイツ在住者向けの定期購読(1ヶ月単位、自動継続)なのですがICEなどの特急を除くローカル線の電車バスがドイツ全土乗り放題で1ヶ月59EURです。観光客向けに販売しているサイトもあるはずなので、興味がお有りなら調べてみてください。

ちょっと調べるとベルリンのサイトに英語でツーリスト向けにもまとまった記事がありました。見てみてください。
https://allaboutberlin.com/guides/deutschland-ticket

質問２
　電車以外だと運転大丈夫ならレンタカーですかねぇ。FlixBusという長距離バスもありますがRothenburgへは出ていないようです。

もう来られていますかね。
家から近いところで住所登録してください。カールスルーエの中心部ならBürgerbüro Kaiserallee 8です。

調べるとオンラインでできるフォームが最近できたようです。やったことないので詳細はわかりませんが。
https://serviceportal.gemeinsamonline.de/Onlinedienste/Service/Entry/EWA

ワーホリについては当方ちょっとわからないです。一般的に外国人の滞在ビザや就労ビザ、ブルーカードなどはは提示いただいたリンク先のAusländerbehörde(外人局)が窓口です。
https://web1.karlsruhe.de/service/Buergerdienste/organisation.php?id=6028411

調べるとこちらに情報がありました。やはりAusländerbehördeで申請をするようです。
https://allemagneenfrance.diplo.de/fr-de/service/visa/2541360-2541360#content_1

こちらの在ドイツ日本領事館や在日本ドイツ領事館に電話やメールで問い合わせてみてはいかがでしょうか。

無事に来られましたかね。最近アカウントを開いたのでこれを見るのが遅くなりました。
カールスルーエに来られる質問があるともつゆ知らず。

一般的に、電話で顔が見えればというのと、送金先がドイツ国内で名義が契約書の貸出者と同じであれば大丈夫じゃないかと思います。

どうしても不安なようであれば、その方に相談してみてはいかがでしょうか。