rayforceさん、はじめまして。
私は空港から公共交通機関を利用したことがないため、調べた範囲での答えになってしまい申し訳ありません。

1.カタールでは配車アプリUberがメジャーです。しかし空港発は禁止されているようでタクシーのみの利用となるようです。
空港のタクシー乗り場の詳細はわかりませんが、案内が出ているため見つけやすいそうです。空港を出て左側だそうです。

2.カタールの公共交通機関は午前4時半から動いているものもあるため、もちろん可能だと思います。ヒルトンホテルであればフロントでタクシーを手配してくれると思います。また配車アプリのUberももちろん使えると思います。

空港の出発側はカタールエア・ビジネスクラス、カタールエア・エコノミー、その他の航空会社の順番に一直線上で入り口が若干変わります。空港が近づくとタクシードライバーにどこの航空会社か聞かれると思います。

私の最近のおすすめはGEWAN ISLANDで可愛らしいクリスタルを見ることです。
7月はとても暑いと思いますが、カタールに住む人は皆気さくでとても優しい方ばかりなので素敵な旅行になることをお祈りしております。
また何かあれば6月上旬に空港へ行く予定があるため聞いてください。