こんにちは。ヒースローから市内は、通常運転されていれば、それほど難しくないと思います。イギリスでは、ラウンドアバウトがあるので、その点だけご注意ください。
私は空港近辺に住んでいますが、市内に出るのには車ではいきません。駐車場代も高いし、停めるところを探すのが面倒なので。

ハロッズの真横に路上駐車できますが、空いてる確率は少ないです。立体駐車場もあります、NPCという会社がロンドン市内で駐車場を多数経営していますので料金など確認できると思います。
https://www.ncp.co.uk/parking-solutions/cities/city-of-london?gclid=CJ2E5fitzMwCFRDhGwodOOIEmg

ちょっと面倒かもですが、市内に近いところまで車で出て、無料駐車できるところがいくつかあるので、ショッピングなど終わったら、一度戻り、車に乗って夜のロンドン観光なんてどうでしょう？　Kew gardensは空港から１本のｍ4で２０分ぐらいで行けて、駅の周りは午後は無料駐車できます。（いつも私もそうしています）地下鉄で３０分ぐらいで主要エリアにでれますので、経済的にも便利だと思いますよ。

Kakeさん

素敵なホテルなど見つかりましたか？
時期や場所などもう少し具体的にわかれば、探してみますので、お声がけください。

お子様が花粉症との事、慣れない旅先では、心配ですよね。
下記サイトにて、確認する事ができます。白樺がちょうど時期に当てはまりそうですが。
http://www.metoffice.gov.uk/health/public/pollen-forecast#calendar

花粉症でよく聞く話は、日本で出ていても、イギリスに来ると３年ぐらいはかからないと言う話をよく聞きます。

イギリスにはBootsという薬局があちこちにあり、薬剤師さんも常駐しています。
お薬に抵抗があるようでしたら、レメディーやハーブ、アロマという自然治療法もありますから、またその時にご質問くだされば、お答えしますよ。

楽しい旅になりますように。