ロンドンも中心部から東西南北に分かれていて、不動産が高くなったため、急におしゃれになったりするエリアが増えたそうです。
最近、注目されているエリアということでしたら、peckhamあたりとかでしょうか？おしゃれなカフェがどんどんできています。Tootingは面白くなって来ていますが、お店の数だと不動産価格の高い、Balhamの方が多いかもしれません。南西のClapham Junction駅のNorthcote RoadとSt John's Hill。全く反対にある北ロンドンのStoke Newington Church streetはチェーン店以外の店も多く、週末は朝食をカフェや夜はバーで３０代くらいのヤッピー（死語？）が社交を楽しんでる姿をよく見かけます。
Hackney、Dalstonのあたりはアーティストも多く住んでいたり、活動する場所です。
二子玉川によく例えられるのは、Kingston Upon Thamesでミドルクラスの住んでいる場所の例によく出されるようです。
私自身、最近、面白かったのはチェルシーの反対側にあるBaterseaにある元火力発電所周辺の開発地区にあるCircus west villegeでした。まだ開発エリアなので車以外のアクセスが少々悪いのが欠点でしょうか？

さと様

私の子供たちが２歳半の時ですと、市内に出かけたり、旅行の時はベビーカーを使用していました。１０年ほど前ですが、年子なのでダブルデッカー型のフィルアンドテッドの大型のバギーだったり、マククラーレンのバギーを使用していました。
旅行の際にお子様を連れてベビーカーを買いに慣れない場所で時間を使うより、普段お使いのものを持って行った方が時間が有効に使えると思います。
デパート、ハイストリートの大型店舗、ミュージアム、ギャラリーなどはたいていエレベーターがあるので、そう行ったところは出かけていました。
旅行の際に色々な場所を訪れると思いますが、お子様は楽しめば楽しむほど、あとでガクッと電池が切れたように眠りに入ったりするので、観光の際にバギーがあったほうが何かと便利だと思います。
市内への移動の方法にもよりますが、日本と違って畳むことを強いられないし、ベビーカー用や車椅子のスペースがあるバスも良く走っています。ただ、やはりラッシュ時間ではないほうが快適ではあります。
電車もナショナルネットワーク、地下鉄など使う駅によってはエレベーター、エスカレーターがない場合もあり、階段も多いこともあるのですが、ありがたいことにこの国に住んでいる方々はさっと手を貸してくださる人が多いので、外出で不愉快な思いをしたという記憶はないです。
ブラックキャブもたたまずそのまま乗り込めるのでたまに使ったりしていました。
ご参考までに。

トラベロコ のまっきーです。
ご旅行ということでお子様だけでなく、大人も楽しめる場所として提案させていただきますね。
お子様は恐竜などやロボットに興味をお持ちでしょうか？　等身型の恐竜のロボットが自然史博物館にあります。２歳ですと怖がる可能性があるかもですが。
あと、隣の科学博物館の地下には小さなお子様が機械に触って楽しめて遊べるエリアがありますので、お天気の不安定なロンドンでは室内で非常に助かる場所です。
ロンドン動物園、水族館などはありますが、日本と比べると値段も高く、少々物足りないかもしれません。
お子様が動物がお好きなら、Hackney City Farmなど行かれるのもお勧めです。無料ですが併設されているカフェも可愛いし、土曜日ですと近くのブロードウェイマーケットと近いので組み合わせてご覧になることをお勧めします。
もちろん、ケンジントンガーデン、バターシーパーク、コラムフィールドなど都会のパークの中の児童公園など楽しめる場所があります。遊んだ後に公園のカフェなどの飲み物で冷えた体を温めるのも癒されます。
郊外ですと、動物と触れ合える遊び場などもいくつかありますし、ソフトプレイなど言われる室内遊技場も子供が小さい時によく行ったものです。

地方のB &Bの朝食でトーストラックでトーストを提供されましたが、残念ながらロンドンのカフェで提供された記憶はないですね。もちろんどこかにあるとは思うのですが。
トーストラックではありませんが、Brixton(ブリクストン)駅から歩いて数分のBrixton Village という名のアーケードがあります。そこにある、Burnt Toast Cafe(バーントトーストカフェ） https://www.tripadvisor.co.uk/Restaurant_Review-g186338-d8093515-Reviews-Burnt_Toast_Cafe-London_England.html
各テーブルに置かれているイギリス製のDualitというトースターでパンが焼けます。
少し前は治安が悪いと言われたブリクストン。移民が多い賑やかしいブリクストン駅前は少々戸惑うかもしれませんが、数分歩いたブリクストンヴィレッジ（アーケードの名前です）にはたくさんの種類のレストランや雑貨屋があり。おしゃれなミドルクラスの若者が食事を楽しんでいます。定番のイングリッシュブレックファストももちろんですが、サワードゥのパンとアボカドとポーチドエッグなどとヘルシーなメニューも最近は洒落たカフェの朝食メニューの定番です。

最近いただいて、やはり嬉しいのは、ヨックモックのシガール、風月堂のゴーフルなど、一つ一つが包装されていて、賞味期限が長いもの。長くはないけど、八つ橋、おたべなどは、私個人が和菓子に目がないので嬉しかったですが。
こちらにありそうと思われていますが、実はない、バームクーヘンをいただいた事があり、近所の日本人の方と美味しくいただきました。
個人的には日本で流行りだしたけど、こちらにはまだ来ていない、季節限定、地元のご当地限定、などといった、調味料や食べ物など嬉しいですね。
お友達にお土産、喜んでいただけるとよいですね。

高村薫さんの小説にも出てきていたエリアですね。
お昼で日の高い間に歩く、高そうなものを身につけない、現金の所持は少なめに、なるべく不安そうにキョロキョロしない、ジロジロ見てくる男性がいても目も合わせず無視するなど心がけたら大丈夫だと思います。
それでも不安なら、もちろんお付き合い致しますし、近くのエリアのギャラリーやカフェ、レストランなども案内できます。
ロンドンの中心部からもそう遠くないので、ロンドン観光のついでに寄っていただいても大丈夫ですよ。
まっきー

何日にロンドンに到着されるのかわかれば、お手伝いする事ができるかもしれないなで、また日程などおわかりでしたらお知らせください。

みっちゃんさま

２６日はボクシングデイで閉まっている店舗もありますが、この数年は２６日からセールを始める店舗も増えつつあります。25日は交通機関がいっさいないので、家に一日中いたイギリス人たちも26日から外に出て行く人も多いです。イギリスではクリスマスを過ぎてもツリーは飾っているので、トラファルガー広場の大きなツリーや、歴史のある建物の前のアイススケートなどのイルミネーションは大丈夫だと思います。
冬季限定のハイドパークのウィンターワンダーランドに行くものお勧めです。

トラベロコのまっきーです。
私の自家用車で良ければ、送迎は可能です。その際にはサービス料金に加えてガソリン代とロンドン中心地に課される混雑税をお支払いいただきます。ご滞在の場所と駅、日程をお教えいただければ、予算が出せますのでよろしくお願いします。