ヨルダンはアメリカと非常に良好な外交関係にありますので、問題ないと思います。

●ペトラ遺跡
①ペトラ遺跡の入口から、徒歩でエルハズネまでは３０−４５分程度でしょうか。エルハズネから、山上修道院（El-Deir）までは、体力次第ですが、１時間〜１．５時間程度。夏場は日差しが強いので、疲れます。
頂上で砂糖いっぱいのお茶が飲めます。
②９月下旬はちょうど気持ちのいい季節です。それでもやはり早朝スタートをお勧めします。
●死海コスメ
死海コスメは色々と種類があります。お勧めは、アンマンから死海に向かうDead Sea road途中にある「Black Iris Bazaar Hand Craft & Dead Sea Product（ブラックアイリス）」はいっぱい買うとディスカウントしてくれる場合もあります。
死海のホテル街にも、一応ショッピングモールがあり、お土産やさんが入っていますので、そこでも購入できます。加えて、アンマンからペトラにいく際にDesert High Wayを使う場合は、途中に休憩所兼お土産やさんがありますので、石鹸などを購入できます（少々高めですが、交渉の腕の見せ所です）。

ヨルダンでの運転は結構キツイです。欧州での良いマナーとは雲泥の差です。特にアンマン市内やその他都市部での運転は毎日ヒヤッ、ハッ、クソ〜、という連続で、落ち着いて気持ちよく運転というわけにはいきません。平気で車線変更してくるし（そもそも車線などあってないようなもの）、ウインカーはほぼ出さないし（右に出して、平気で左に曲がったりします）、郊外に出るとスピード狂の人たちばかりで、例えば、アンマンから南のペトラに行くデザート・ハイウェイ（砂漠ロード）は死亡事故も起きています。
また、日本と違って、道路にバンプ（スピードをコントロールするための凸）があり、高速のまま突っ込むとサスペンションが壊れます。特に夕方、日没後の運転は控えた方が良いでしょう。
日差しも強く、疲れた体で慣れない運転を長時間するよりも、少々高くても車をチャーターしてしまった方が良いかと思います。
ツアー会社が様々あり、パッケージ次第ですが、１５０ドル〜３００ドル程度でしょう。

ヨルダンの車事情ですが、カーナビが付いているものは見たことはありません。皆さんスマホを適宜装着してGoogleマップで対応しています。
それ以前に、現在、ヨルダンも、他国より相当良い状況ですが、コロナ危機の最中にあり空港も閉鎖、外出禁止も出ています。いつ正常化するのかは予断できませんし、今夏、国内観光業が外国人を受け入れられる体制に戻るのかわかりません。コロナ危機がいつまで続くかによりますが、各種予約は、世界的に航空便が再開するなど、もう少し見通しがついてからの方がよいのではないでしょうか。