シンガポール旅行楽しんでください！
私は実際にジョギングをしたことはありませんが、ジョギングをしている方をよく見かける、そして自分も実際歩いた事があるコースを一つ。

在星日本人もよく使うショッピングモールのグレートワールドシティー近くのシンガポールリバーの川沿いをスタートして、マリーナ方面に向かいロバートソンキー、クラークキー、ボートキーと行き、最後にマーライオンに着く川沿いコースです。川沿いなので信号などを気にせずに行けます。
到着地点のマーライオンからはマリーナベイサンズも見えます！
まだそこから行けそうであれば、エスプラネード、シンガポールフライヤー方面に走り、景色を楽しむのも良いと思います。
ただ、シャワーなどの施設は特に無いような気がします。

マリーナベイサンズの裏側にあるガーデンズバイザベイ内のチルドレンズガーデンという子供がお水遊びをする施設には無料で使えるシャワーが水ですがあります。ただ、オープンシャワーで個室は無かったように思います。

シャワーが無料で使えるところであれば、セントーサ島のタンジョンビーチやパラワンビーチには確かあったと思うので、セントーサ島をジョギングで探検も楽しいかもしれませんね。
私はセントーサ島ではいつも無料で乗れるトラムに乗ってしまうため、歩いたことはありませんが…

有意義なジョギングタイムを楽しめますように！