初めまして。
私はシドニーに半年ぐらい住んでいたのですが、ホテルなどは利用しないのと普通に学校やアルバイトをして生活していたため観光などに詳しくないのですが分かる範囲でお役に立てればと思い返信させていただきます。

まずホテルですが、無難にはシティと呼ばれる、Central駅かTownhall駅周辺に取ると買い物も移動手段も便利だと思います。ビーチをメインに望む場合はBondiなどに泊まるのも素敵だと思いますが、動物園や乗馬となると内陸の方になると思うので、やはり交通機関が一番整ってるシティ付近にホテルを取るのが便利かなと思います。また少し離れた所に電車で向かう場合でもセントラルからほとんどの電車が出ているのと、空港までも電車で簡単に行けるので、シティに取ってしまえばホテルを変える必要はないと思います。

また、年越しをシドニーで迎えるというのであれば、やはり花火を見たいと思うのですが、Harbour brigde周辺が規制がかかっていて、朝から並んで見るという形になると思います。その点を踏まえても、シティにホテルを取ることをお勧めします。

空港への到着時刻は、6時半に着いていれば確実に余裕だと思います。7時〜7時半でも大丈夫だと思いますよ。

船に関しては、circular quay駅周辺や、Darling harbourがいいと思います。
乗馬に関しては詳しくないのですが、グレンワースバレーは有名だと思います。あと、オーストラリアに観光に来て、ブルーマウンテンに行きたいという方がとても多いのですが、場所がかなり遠いので、日数と場所をしっかり計算して計画することをオススメします。

また、個人的なお勧めですが、シティ付近で少しローカルなお店に行きたいなら、Surry HillsやBroadway、Glebeというところはローカルなカフェやレストランがたくさんあってとてもオススメします。

少しでもお役に立てれば光栄です。
ご旅行楽しんでください＾＾