こんにちは。

アルカトラズ島に行くだけであれば、SFO到着から出発まで8～10時間程度あればってとこでしょうか。
アメリカの国内線は遅れることも多いので一泊した方が無難ですね。
アルカトラズ島ツアーのチケットは人気で売り切れも多いそうなので事前に購入した方が良いです。
下記がアルカトラズ島ツアー公式サイトになります。
https://www.alcatrazcruises.com/

SF、ベイエリアのホテルはどこも高いのですが、安すぎるホテルは治安が良くない可能性があるので注意が必要です。
特にTenderloinとSoMa（South of Market）は避けた方が無難です。

ベイエリアで数日過ごせてかつレンタカーを借りれるのであればヨセミテ国立公園がお勧めですがSFOから往復だけで7～10時間程度かかるので二泊は必要になりますね。

ダウンタウン周辺でぱっと思いつくところは下記でしょうか。
・ゴールデンゲートブリッジ～サウサリート
・ロンバードストリート、ケーブルカー
・ギラデリスクエア
・フェリーターミナル
・AT&Tパーク
・アラモスクエア（フルハウス/フラーハウス）
・SF MOMA、各種美術館博物館

参考になれば幸いです。