始めまして、
私は約１１年イギリスのシェフィールド（中央）に住んでいます。
ご質問に関して私なりにご返事したいと思います。
先ずは、ロンドンからコッツウォルズは車で２～３時間程度になりますが、ご存じかと思いますがコッツウォルズは小さな街がいくつも点在していますので、訪れたいところを絞っておいた方が良いかと思います。
湖水地方はそこから更に４～５時間程でしょうか、私も一度しか言ったことが無いのでアドバイスは出来ませんが、湖を囲んで広いエリアになりますのでしっかりと下調べして計画を組んだ方が良いです。
次に、エディンバラに付いてですがロンドンからはかなり遠く車でグーグルマップでは７時間余りと出ますが実際は１０時間程と考えておいた方が良いかも知れません。
M1という高速道路を使って北上しますが、結構渋滞も有りますので余裕をもって計画を組んでおいた方が無難です。
最後にイギリスでの車の運転について、イギリス人の運転はとても紳士的で他欧州の国々よりは運転しやすいと思っています。（あくまで私の考えですが）
但し、いたるところにスピードカメラが設置されており、慣れない人は必ずと言って良いほどスピード違反で罰金を取られます。
なので制限速度は絶対まもってください。
イメージとして７０マイルのところはMax７５マイルまで、５０マイルぐらいまでは＋５マイルでしょうか。
４０以下は要注意、街中は３０マイルが多いですがそこは３２マイルでもカメラに取られ罰金刑が課されます。
数年前に厳しくなり私の経験で３０マイルのところを３３マイルでカメラにとられキップを切られました（後日郵便で送られてくる）その時の罰金は日本円に換算し約50万円ほどになりました。
４時間の講習を受けて数万円でけりが付きましたが、その４時間は他の参加者と英語でグループディスカッションをしなければなりませんので旅行者には対応困難です。
色々と買いましたが参考になれば幸甚です。